给定数组的 K 次反转后的最大前缀和

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k（k ≤ n），如果对于一个区间 [l, r]（1 ≤ l ≤ r ≤ n），执行 [l, r] 内的数反转操作，定义该操作的cost为 r - l + 1；反转后数组的前缀和是数组中前 k 大的数的和。求在最多执行 k 次反转操作的情况下，反转后数组前缀和的最大值。

解题思路

贪心算法

由于前 k 大的数必须相邻，因此需要首先得到前 k 大的数。这里可以通过快速选择算法或堆排序得到。

得到前 k 大的数后，需要将它们排列到数组的前 k 个位置上。这里可以通过贪心算法实现。

假设前 k 大的数在数组中的位置分别为 $p_{1},p_{2},...,p_{k}$，其对应的值为 $v_{1},v_{2},...,v_{k}$。我们可以选择一个初始位置 $t$（1 ≤ t ≤ n - k + 1），将 $v_{1}$ 放在 $t$ 的位置上，将 $v_{2}$ 放在 $t+1$ 的位置上，以此类推，将 $v_{k}$ 放在 $t+k-1$ 的位置上。这时，我们需要考虑反转操作的代价。

假设 $v_{1}$ 原来在位置 $p_{1}$，新位置在 $t$，反转后的代价为 $cost_{1}=|t-p_{1}|+1$。同理，对 $v_{2},...,v_{k}$ 计算反转操作的代价 $cost_{2},...,cost_{k}$，并设 $\sum_{i=1}^{k}cost_{i}=c$。

如果 $c \le k$，代表反转操作可以在不影响前缀和的情况下完成。此时，将前 k 个数按题目要求排列，设其对应的位置为 $q_{1},q_{2},...,q_{k}$，则反转操作的方案为将 $[q_{1},q_{2}-1]$，$[q_{2},q_{3}-1]$，...，$[q_{k},n]$ 反转，需要反转的次数为 $c$。

如果 $c > k$，代表反转操作无法在不影响前缀和的情况下完成。此时，需要对前面的 $k$ 个数进行调整，使得它们的位置满足反转操作的要求。这里可以采用类似双指针的方法，通过向右移动 $t$ 的位置，不断修改前 k 个数的位置，直到 $c \le k$ 为止。

计算前缀和时，需要注意前 k 大的数并不一定是数组中的前 k 个数，因此计算前 k 大的数时需要使用堆排或快排，而不是直接取数组的前 k 个数。

最后，得到了前 k 大的数的位置后，只需要将其对应的区间反转即可。

算法复杂度

贪心算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。具体的，排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$，找到反转操作的代价的时间复杂度为 $O(k)$，调整前 k 个数的位置的时间复杂度为 $O(n)$，反转前 k 大的数对应的区间的时间复杂度为 $O(k)$，因此总时间复杂度为 $O(n\log n)$。

另外，堆排序相比于快速排序空间复杂度较高，为 $O(n)$，但时间复杂度相同。

代码实现

import heapq

def reverse_prefix_sum(nums, k):
    heap = heapq.nlargest(k, nums)
    pos = [nums.index(h) for h in heap]
    pos.sort()
    t = 1
    cost = sum(abs(p-t) + 1 for p in pos)
    while cost > k:
        cost -= abs(pos[t-1]-t) + 1
        cost += abs(pos[t+k-1]-t-k) + 1
        t += 1
    res = sum(heap)
    for i in range(k):
        res += sum(nums[pos[i]:pos[i]+1+t-i][::-1])
    return res

代码中，首先使用 heapq.nlargest() 函数找到前 k 大的数，然后得到对应的位置 pos，通过贪心算法调整位置，并计算反转操作的代价 cost。如果 cost > k，则需要调整前 k 个数的位置，否则直接将前 k 大的数按位置顺序排列即可。最后，将前 k 大的数对应的区间反转，在前 k 大的数中选择 k 个数计算前缀和。