使用Fenwick树从前缀求和数组中查找K的下界并进行更新

什么是Fenwick树

Fenwick树，也称为树状数组，是一种用于动态维护序列前缀和的数据结构，可以在O(log n)的时间复杂度内支持单点修改和区间查询。Fenwick树实际上是一种二叉树结构，其中每个节点存储一段区间的和，左儿子表示小区间，右儿子表示大区间。根据这种结构，我们可以快速地计算出前缀和等信息。

什么是前缀求和数组

前缀求和数组是指一个数组的前缀和序列。例如，对于数组[1,2,3,4,5]，其前缀和序列为[1,3,6,10,15]。

如何利用Fenwick树查找K的下界并进行更新

在实际应用中，我们可能需要查找前缀和序列中第一个大于等于K的位置，并将该位置的值加上一个给定的常数C。对于这种问题，我们可以使用Fenwick树来实现。具体步骤如下：

1. 构建前缀求和数组P，并创建一个Fenwick树T。根据定义，T[0] = P[0]，T[i] = P[i] - P[i-lowbit(i)]，其中lowbit(i)表示i的二进制表示中最低位的1所对应的数值。
2. 利用二分查找算法查找第一个大于等于K的位置。具体地，初始化左右指针l=0，r=n-1。循环执行以下操作：计算中间位置mid = (l+r) / 2，并比较P[mid]与K的大小。如果P[mid]小于K，则令l = mid + 1；否则，令r = mid - 1。最终，l所指的位置即为第一个大于等于K的位置，或者n（如果K大于数组中所有值）。
3. 将该位置对应的Fenwick树节点及其所有祖先节点上的值加上C。

下面是使用Python语言实现Fenwick树的代码片段：

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, i, delta):
        while i < len(self.tree):
            self.tree[i] += delta
            i += i & -i

    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res += self.tree[i]
            i -= i & -i
        return res

def update_prefix_sum(arr, k, c):
    n = len(arr)
    # 构建前缀和数组P
    P = [0] * n
    for i in range(n):
        P[i] = arr[i] + (P[i-1] if i > 0 else 0)
    # 创建Fenwick树T
    T = FenwickTree(n)
    for i in range(n):
        T.update(i+1, P[i])
    # 查找第一个大于等于K的位置，并更新Fenwick树节点
    l, r = 0, n-1
    while l <= r:
        mid = (l+r) // 2
        if P[mid] < k:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    if l < n:  # 找到了
        T.update(l+1, c)
    else:      # 没找到
        pass  # 可以在这里抛出异常或做出其他处理

上述代码中，update_prefix_sum函数接受一个数组arr、一个非负整数k，以及一个整数c，表示需要将前缀和数组P中第一个大于等于k的位置及其后面的位置上加上c。该函数首先构建前缀和数组P，并利用该数组创建Fenwick树T。然后，通过二分查找算法查找第一个大于等于k的位置，并利用Fenwick树的update方法将该位置及其所有祖先节点上的值加上c。

总结

Fenwick树是一种非常实用的数据结构，可以快速地处理一些与前缀和相关的问题。在本文中，我们介绍了如何利用Fenwick树从前缀求和数组中查找K的下界并进行更新。希望本文对读者有所启发，能够在实际应用中发挥作用。