右侧按字典顺序排列的较小字符的计数

这个主题主要是讨论如何在一个字符串中找到每个字母右侧比它小的字母的数量。换言之，就是给定一个字符串，要求对于字符串中的每个字母，计算出右侧字典序比它小的字母的数量。

解法

一个简单的思路是，对于每个字母，从它的位置开始向右遍历整个字符串，找到第一个比它小的字母，然后记录一下到达那个字母的距离，即可得到答案。这个思路的时间复杂度是 $O(n^2)$，对于较长的字符串来说显然不够优秀。

更高效的做法是借鉴归并排序的思路，将字符串按照字典序从小到大排序，然后从右往左遍历排好序的字符串，记录每个字母右侧比它小的字母的数量。具体实现可以使用归并排序的合并过程，在合并的时候统计每个元素的右侧比它小的元素的数量，然后再将两个有序的子数组归并。这个算法的时间复杂度是 $O(n\log n)$，与归并排序相同。

代码示例

以下是一个 Python 实现的示例代码，它使用了归并排序的思路，在合并两个有序的子数组时统计了每个元素的右侧比它小的元素的数量：

def count_smaller_to_right(s):
    n = len(s)
    ans = [0] * n
    def merge_sort(l, r):
        if l < r:
            mid = (l + r) >> 1
            merge_sort(l, mid)
            merge_sort(mid + 1, r)
            i, j, k = l, mid + 1, 0
            tmp = [0] * (r - l + 1)
            while i <= mid and j <= r:
                if s[i] <= s[j]:
                    ans[i] += j - mid - 1
                    tmp[k] = s[i]
                    i += 1
                else:
                    tmp[k] = s[j]
                    k += 1
                    j += 1
            while i <= mid:
                ans[i] += j - mid - 1
                tmp[k] = s[i]
                k += 1
                i += 1
            while j <= r:
                tmp[k] = s[j]
                k += 1
                j += 1
            for i in range(l, r + 1):
                s[i] = tmp[i - l]
    merge_sort(0, n - 1)
    return ans

这个代码中的 s 表示输入的字符串，返回值为一个长度为 $n$ 的列表，表示每个字母右侧比它小的字母的数量。注意，在合并两个有序的子数组时，当左边的元素小于等于右边的元素时，也要增加右侧比它小的元素的数量。这个细节需要特别注意。

总结

本文介绍了一个计算字符串中每个字母右侧字典序比它小的字母数量的算法，它的时间复杂度为 $O(n\log n)$，可以使用归并排序的思路实现。对于需要在字符串中计算字典序前缀和的问题，这个算法都可以作为一个好的参考。