主题: 右上的按字典顺序排列的较小字符的计数

概述

题目意思为: 给定一个m×n的字符矩阵，计算右上方向的按字典顺序排列的较小字符的数量。例如，给定下面的 3×3 矩阵：

  a b c
  d e f
  g h i

返回结果为 6，因为右上方向按字典顺序排列的较小字符有6个。

  a b c
    d e f
      g h i

本文将介绍如何使用 Python 解决这个问题。

思路

我们可以使用一个二维数组 dp 来存储每个字符在右上方向上的按字典顺序排列的较小字符的数量。dp[i][j] 表示以矩阵位置 (i, j) 的字符为起点，在右上方向上按字典顺序排列的较小字符的数量。

我们可以从右上角开始遍历矩阵，按照行与列从右到左的顺序，递推地计算 dp[i][j] 的值。dp[i][j] 的值可以通过以下两种情况来确定：

1. 当从 (i, j) 向右上方向的走一步时，当前字符比下一步的字符小，此时 dp[i][j] 只计算下一步 (i-1, j+1) 的值，即 dp[i][j]=dp[i-1][j+1]。
2. 当从 (i, j) 向右上方向的走一步时，当前字符不比下一步的字符小，此时 dp[i][j] 需要计算下一步 (i, j+1) 和 (i-1, j+1) 的值，即 dp[i][j]=dp[i][j+1]+dp[i-1][j+1]+1，其中 +1 表示当前字符也是一个符合条件的字符。

最后，我们遍历 dp 数组，将所有 dp[i][0] 的值相加即可得到最终结果。结果即为右上方向上按字典顺序排列的较小字符的数量。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def count_right_top_chars(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    
    for i in range(m):
        for j in range(n-1, -1, -1):
            if i == 0 and j == n-1:
                dp[i][j] = 1
            elif j == n-1:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            elif i == 0:
                dp[i][j] = dp[i][j+1]
            elif matrix[i][j] < matrix[i-1][j+1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j+1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i][j+1] + dp[i-1][j+1] + 1
                
    return sum(dp[i][0] for i in range(m))

性能分析

该算法的时间复杂度为 O(mn)，空间复杂度为 O(mn)。由于需要遍历整个矩阵，因此时间复杂度无法再优化。空间复杂度也已经是最小的，因为我们需要存储每个字符在右上方向上的按字典顺序排列的较小字符的数量。