按字典顺序排列的字符串的第 n 个排列

给定一个仅包含不同字符的字符串，例如 "abc"，按字典序排列后下一个更大的排列是什么？

例如，输入字符串 "abc"，下一个字典序排列是 "acb"。

如果当前排列已经是字典序最大的，则下一个排列就是最小的字典序排列，例如，排列 "cba" 的下一个排列就是 "abc"。

现在，假设你输入了一个字符串 "abc"，请你找出它按字典序排列的第n个排列是什么。

举个例子：

输入: s = "abc", n = 3 输出: "bac"

方法一：暴力枚举法

首先，我们可以暴力枚举出所有可能的排列，然后对所有排列进行排序，最终找到第n个排列。但是，这种方法的复杂度非常高，时间复杂度为O(n!)，显然无法满足要求。

方法二：数学法

下面，我们介绍一种优秀的数学方法。

对于n个元素的全排列，可以得到以下结论：

• 前(n - 1)!个排列的最高位是第1个元素；
• 前(n - 2)!个排列的次高位是第2个元素；
• 前(n - 3)!个排列的次次高位是第3个元素；
• 依此类推……

现计算第i个排列：

假设第k个元素为a，排列总数为n，则称m = (i - 1) / (n - 1)!，则第k个元素为第m + 1个未出现的元素，同时，删去第k个元素后，求第(i - m * (n - 1)!)个排列。

不断执行以上操作，直至剩下一个元素，即为所求排列。

下面，给出具体的实现代码。

def getPermutation(n: int, k: int) -> str:
    factorials = [1] * n
    for i in range(1, n):
        factorials[i] = factorials[i - 1] * i

    k -= 1
    ans = []
    valid = [1] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        order = k // factorials[n - i] + 1
        for j in range(1, n + 1):
            order -= valid[j]
            if order == 0:
                ans.append(str(j))
                valid[j] = 0
                break
        k %= factorials[n - i]

    return ''.join(ans)

上述代码中，我们首先计算了1到n的阶乘，然后根据上述结论，依次计算每一位的数值，最终得到所求排列。

总结

本题通过介绍了两种求解方法，一种暴力枚举法，另一种为数学法，其中数学法的时间效率更高，对于大规模数据求解时有明显优势。