选择数组元素的最低成本

在编程中，有时候需要从一个数组中选择一个或多个元素，使得它们满足某些条件，且选择的代价最小。这个问题有许多种解法，本文将介绍其中的一些。

动态规划

动态规划是解决该问题的一种经典方法。基本思路是通过递推的方式，分别计算从数组的不同位置开始选择元素的最小代价。

具体来说，假设数组为 A，长度为 n，我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示从 A[i] 开始选择元素的最小代价。则我们可以得到以下递推式：

dp[i] = A[i] + min(dp[j])  (i < j < n, 选取 j 时满足条件)

初始状态为 dp[n-1] = A[n-1]。最后的答案即为 min(dp)。

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n)$。如果需要优化空间复杂度，可以使用滚动数组来保存中间状态。

以下是 Python 实现代码：

def lowest_cost(A):
    n = len(A)
    dp = [0] * n
    dp[n - 1] = A[n - 1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        dp[i] = A[i] + min(dp[j] for j in range(i + 1, n) if A[j] > A[i])
    return min(dp)

贪心算法

除了动态规划之外，贪心算法也可以用来解决这个问题。具体来说，我们可以将数组中的元素按照一定规则排序，然后从前往后依次选择元素，直到满足条件为止。

以本题为例，我们可以按照元素的值从小到大排序，然后依次选择每个元素，直到已选择的元素的最大值大于等于条件要求的值。这个算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$。

以下是 Python 实现代码：

def lowest_cost(A):
    A.sort()
    cost = 0
    max_value = 0
    for i in range(len(A)):
        if A[i] > max_value:
            cost += A[i]
            max_value = A[i]
        if max_value >= 100:
            break
    return cost

双指针算法

在本题的特定情况下，我们还可以使用双指针算法来解决问题。具体来说，我们可以将数组中的元素按照从小到大排序，然后使用两个指针 $i$ 和 $j$，其中 $i$ 指向选择的最小元素，$j$ 指向选择的最大元素。

然后，我们每次将 $i$ 向右移动，直到 $A[i]$ 增加到一个比当前的 $A[j]$ 大的值。这时，我们就需要将 $j$ 向右移动，直到找到一个比 $A[i]$ 大的值。每次移动 $i$ 或 $j$ 时，我们只需要计算相应的代价即可。

这个算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

以下是 Python 实现代码：

def lowest_cost(A):
    A.sort()
    i, j = 0, len(A) - 1
    cost = 0
    while A[i] < 100 and i < j:
        if A[i] > A[j]:
            cost += A[i]
            i += 1
        else:
            cost += A[j]
            j -= 1
    return cost

总结

本文介绍了三种解决本题的方法，分别是动态规划、贪心算法和双指针算法。它们各自有不同的时间复杂度和空间复杂度，适用于不同的场景。在实际应用中，我们需要结合具体的情况来选择最合适的算法。