选择K个严格增加的元素的最低成本

问题描述

给定长度为N的序列，选择其中K个严格递增的元素，要求选出的元素之间的间隔尽可能小，求选取K个元素的最小成本。

例如：给定序列[3,2,5,1,4,6]，K=3，则选择的三个元素为[2,5,6]，间隔分别为3和1，成本为4。

解题思路

本题可以采用动态规划的思路进行解决。定义状态dp[i][j]表示选择前i个元素中选取j个元素的最小成本。则有以下状态转移方程：

$$ dp[i][j] = \begin{cases} 0, & \text{j = 0} \ \min\limits_{k < i}{dp[k][j-1] + c(i, k+1)}, & \text{j > 0} \end{cases} $$

其中，$c(i, k+1)$表示选择第$k+1$个元素到第$i$个元素之间的最小间隔。可以通过一次遍历（从右至左）记录每个元素到右边最近的大于它的元素的距离$g[i]$，则$c(i, k+1) = g[i+1] - g[k+2] - 2$。

算法实现

Java 代码

public int minCost(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
    // 计算每个元素到右边最近的大于它的元素的距离
    int[] g = new int[n + 1];
    Arrays.fill(g, n + 1);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (nums[i] < nums[j]) {
                g[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    // 动态规划
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int l = j - 1; l < i; l++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[l][j - 1] + g[i] - g[l + 1] - 2);
            }
        }
    }
    return dp[n][k];
}

Python 代码

def min_cost(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf') for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]
    # 计算每个元素到右边最近的大于它的元素的距离
    g = [n+1 for _ in range(n+1)]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if nums[i] < nums[j]:
                g[i] = j
                break
    # 动态规划
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = 0
            else:
                for l in range(j-1, i):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[l][j-1] + g[i] - g[l+1] - 2)
    return dp[n][k]

总结

本题考查了动态规划的基础知识，需要掌握状态的定义、状态转移方程的推导和动态规划的实现。在实现过程中需要注意遍历顺序和初始化。