选择 K 个严格递增元素的最小成本

简介

给定一个长度为 n 的数组和 K，求该数组中选择 K 个元素组成一个严格递增序列的最小成本。

解题思路

动态规划

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划来求解。

首先需要定义好状态，设 dp[i][j] 表示在前 i 个元素中选择 j 个元素所需要的最小成本。

接下来我们需要找出状态转移方程。

对于 dp[i][j]，有两种情况：

• 不选择第 i 个元素，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。

• 选择第 i 个元素，则需要在前 i-1 个元素中选择 j-1 个元素，并且需要满足后一个元素大于前一个元素，即：

  dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + cost[k+1][i]), 其中 k < i 且 arr[k] < arr[i]

其中 cost[i][j] 表示从 i 到 j 之间的元素构成一个序列的成本，可以使用前缀和来预处理，即 cost[i][j] = prefix_sum[j] - prefix_sum[i-1]。

最终结果为 dp[n][K]。

代码实现

def min_cost(arr, K):
    n = len(arr)
    cost = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            cost[i][j] = cost[i][j-1] + arr[j] - arr[(i+j)//2]
    dp = [[float('inf')] * (K+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = 0
        for j in range(1, K+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            for k in range(i-1, -1, -1):
                if arr[k] < arr[i-1]:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + cost[k][i-1])
    return dp[n][K]

总结

选择 K 个严格递增元素的最小成本是一个经典的动态规划问题，使用动态规划算法可以很好地解决该问题。在实现过程中，需要定义好状态和状态转移方程，并且需要使用前缀和预处理成本。