最小乘积子序列，其中相邻元素的最大距离为 K

介绍

本文介绍一道经典的算法问题——最小乘积子序列，其中要求相邻元素的最大距离为 K。这个问题的解法涉及动态规划、双指针等多种方法，需要我们分析各种情况，仔细思考之后才能得出最优解。本文将从问题背景、算法思路、代码实现、时间复杂度等多个方面进行介绍，希望能够帮助大家更好地理解这个问题。

问题背景

给定一个长度为 N 的正整数序列 A，要求选出长度为 K 的子序列 B，使其相邻元素的最大距离不超过 D（即 |i-j|<=D，其中i和j是B的任意两个下标），并且子序列 B 中元素乘积最小。输出最小乘积。

例如，对于序列 A=[1,2,3,4,5]，当 K=3、D=1 时，最小乘积子序列为 [1,2,3] 或者 [2,3,4]，乘积为 6。

算法思路

我们可以通过动态规划或者双指针的方式来解决这个问题。

动态规划

我们可以用 f(i,j) 表示选取长度为 j 的子序列，最后一个元素下标为 i 时的最小乘积。因为我们希望选取的子序列中相邻元素的最大距离不超过 D，所以在选取当前的最后一个元素时，我们需要考虑它前面的元素位置。具体来说，我们可以从后往前枚举倒数第二个元素的位置 k，然后用 f(k,j-1) 来计算前面的子序列的最小乘积。然后就可以得到状态转移方程：

f(i,j) = min{f(k,j-1) * g[k+1][i]}
其中 g[i][j] 表示序列 A 中从位置 i 到 j 的元素乘积。

这个方程的时间复杂度是 O(N^3)，需要优化。

双指针

我们可以用双指针来解决这个问题。具体来说，我们可以维护一个指针 i 和一个指针 j，表示当前选取的子序列范围为 [i,j]。在每一步操作中，我们首先要判断 j 和 i 之间的距离是否超过了 D，如果超过了，我们就需要把 i 前移，直到距离不超过 D。然后我们考虑当前选取的子序列的最后一个数是什么，有两种情况：

1. 如果这个数是 A[j]，那么我们可以考虑用它来更新最小乘积。因为在 [i,j-1] 的范围内已经选取了 j-1 个数，它们的最小乘积应该已经被记录在 f(j-1,k) 中，其中 k 表示选取了 j-1 个数时的最后一个数的下标。因此我们可以用 A[j] 与 g[k+1][j] 相乘来得到以 A[j] 结尾，长度为 j-i+1 的最小乘积。然后记录这个最小值，移动 j。

2. 如果这个数不是 A[j]，那么我们需要将 j 与 A[j] 所在的位置之间的所有元素都作为最后一个数进行计算，然后取其最小值。也就是说，我们需要枚举 A[j] 的位置 k，用 f(k,i-1) 乘上 g[k+1][j]，然后取这些数中的最小值。然后移动 j。

这个算法的时间复杂度是 O(N*K)，其中 K 是子序列长度。因为 K 最大为 10，所以总的时间复杂度为 O(N)。

代码实现

动态规划

def solve_dp(A, K, D):
    n = len(A)
    g = [[1] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                g[i][j] = A[i]
            else:
                g[i][j] = g[i][j-1] * A[j]
    f = [[float('inf')] * (K+1) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        f[i][1] = g[0][i]
    for j in range(2, K+1):
        for i in range(j-1, n):
            for k in range(j-2, i):
                f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j-1] * g[k+1][i])
    return f[n-1][K]

双指针

def solve_double_pointer(A, K, D):
    n = len(A)
    f = [float('inf')] * (K+1)
    g = [1] * n
    res = float('inf')
    i = j = 0
    while j < n:
        while j - i > D:
            i += 1
        for k in range(i, j):
            f[j-i+1] = min(f[j-i+1], f[k-i+1] * g[j])
        g[j] = A[j]
        for k in range(j-1, i-1, -1):
            g[k] *= A[j]
        j += 1
        if j - i == K:
            res = min(res, f[K])
    return res

时间复杂度

动态规划

时间复杂度为 O(N^3)。

双指针

时间复杂度为 O(N)。