最小乘积子序列，相邻元素之间的最大距离为K

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，你需要找到一个最小的乘积，使得在乘积的结果不超过一个确定的阈值 th，同时满足任意两个相邻的元素之间的最大距离不超过 k。

解题思路

该问题可以使用动态规划算法来解决。

假设 $dp[i]$ 表示以第 i 个元素作为结尾的子序列的最小乘积。

那么，我们可以考虑第 i 个元素是否可以与前面的元素组成一个新的子序列。

如果第 i 个元素不能与前面的元素组成新的子序列，那么 $dp[i]$ = nums[i]。

如果第 i 个元素能够与前面的元素组成新的子序列，那么我们需要找到前面的元素中最小的能够与第 i 个元素组成的子序列的乘积，然后将其乘以第 i 个元素。

在遍历数组的过程中，我们需要保证相邻元素之间的最大距离不超过 k。

代码实现

def minProduct(nums, k, th):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    heap = [(nums[i], i) for i in range(n)]

    for i in range(n):
        while heap and heap[0][1] < i - k:
            heapq.heappop(heap)
        curr, idx = heap[0]
        dp[i] = curr * nums[i] if curr * nums[i] <= th else th
        heapq.heappush(heap, (dp[i], i))

    return min(dp)

时间复杂度

由于使用了堆来维护滑动窗口，因此每个元素最多会被插入一次，删除一次。因此，算法的时间复杂度为 $O(n\log k)$。

空间复杂度

算法使用 $O(n)$ 的空间来存储动态规划数组和堆。

参考资料

• LeetCode 题解