几何序列和级数

什么是几何序列和几何级数

几何序列是由一个初始项(a₁)和一个公比(r)组成的数列，每一项都是前一项乘以公比得到的。几何序列可表示为：

a₁, a₁ * r, a₁ * r², a₁ * r³, ...

几何级数是无限几何序列的总和。如果 |r| < 1，则几何级数收敛于

a₁ / (1 - r)

如果 |r| >= 1，则几何级数发散。

如何实现几何序列和几何级数

在计算几何序列时，需要提供初始项和公比。可以通过循环来计算序列中每一项，也可以使用递归函数来计算序列的第 n 项。

# 循环方式计算几何序列
def geometric_sequence(a, r, n):
    sequence = [a]
    for i in range(n-1):
        sequence.append(sequence[-1] * r)
    return sequence

# 递归方式计算几何序列
def geometric_sequence_recursive(a, r, n):
    if n == 1:
        return [a]
    else:
        return geometric_sequence_recursive(a, r, n-1) + [a * pow(r, n-1)]

# 计算几何级数
def geometric_series(a, r):
    if abs(r) < 1:
        return a / (1 - r)
    else:
        return None

在上述实现中，使用了两种方式计算几何序列：循环和递归。循环的方式比递归更直观，但在计算大量数据时可能更加耗时。递归方式则比较简洁，但容易出现栈溢出的错误。

计算几何级数时，需要注意公比的取值，否则可能会得到无效结果或错误的结果。

实例

# 计算前10项的几何序列
print(geometric_sequence(2, 3, 10))  # [2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366]

# 计算前10项的几何序列（递归方式）
print(geometric_sequence_recursive(2, 3, 10))  # [2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366]

# 计算几何级数（收敛）
print(geometric_series(2, 0.5))  # 4.0

# 计算几何级数（发散）
print(geometric_series(2, 2))  # None

以上程序输出：

[2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366]
[2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366]
4.0
None