计算 GCD 等于 X 的子序列

本文将介绍如何计算一个序列中 GCD 等于 X 的子序列。GCD，即最大公约数，是指几个整数共有约数中最大的一个。

算法的基本思想是，分别计算以每个元素为结尾的子序列的 GCD，并统计 GCD 为 X 的个数。

算法实现

下面是算法的核心代码实现：

def gcd_subsequences(arr, x):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n  # dp[i] 表示以 arr[i] 结尾的 GCD 为 x 的子序列个数
    dp[0] = 1 if arr[0] == x else 0
    ans = dp[0]

    for i in range(1, n):
        dp[i] = 1 if arr[i] == x else 0
        for j in range(i - 1, -1, -1):
            gcd = math.gcd(arr[j], arr[i])
            if gcd == x:
                dp[i] += dp[j]
        ans += dp[i]

    return ans

算法解析

• 首先，定义一个长度为 n 的数组 dp，dp[i] 表示以 arr[i] 结尾的 GCD 为 x 的子序列个数。
• 然后，初始化 dp[0] = 1，如果 arr[0] == x，则表示以 arr[0] 结尾的子序列 GCD 为 x 的个数为 1，否则为 0。
• 接着，用 ans 变量记录 GCD 为 X 的子序列个数，初始化为 dp[0]。
• 对于 i = 1, 2, ..., n-1，计算 dp[i] 的值。如果 arr[i] == x，dp[i] 的值为 1，否则为 0。
• 对于 j = i-1, i-2, ..., 0，判断 arr[j] 和 arr[i] 的 GCD 是否为 x，如果是，则 dp[i] += dp[j]。
• 最后，ans += dp[i]，表示以 arr[i] 结尾的子序列 GCD 为 x 的个数。

总结

本文介绍了如何计算一个序列中 GCD 等于 X 的子序列，通过动态规划的思想，用 dp 数组记录以每个元素为结尾的子序列的 GCD，并统计 GCD 为 X 的个数。

参考文献

[1] Dynamic Programming | Set 30 (Count all subsequences of length K whose sum is divisible by K) - https://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-30-count-subsequences-length-k-sum-divisible-k/