NPDA 接受语言 L = {an bm cn | m,n>=1}

什么是 NPDA？

NPDA（Nondeterministic Pushdown Automaton，非确定性下推自动机）是一种计算模型，可以接受上下文无关语言，其基本结构包括状态、输入字母表、栈字母表、转移函数、初始栈符号、初始状态和终止状态。NPDA 可以使用空间复杂度为 O(n) 的栈来处理比 DFA 更为复杂的语法规则。

L = {an bm cn | m,n>=1} 是什么意思？

L = {an bm cn | m,n>=1} 是一种语言，其中 a、b、c 是对应的字符集。这个语言的含义是，字符串由若干个 a、b、c 组成，其中 b 和 c 的数量大于等于 1，且 a 的数量等于 b 和 c 的数量的乘积。

如何使用 NPDA 接受 L = {an bm cn | m,n>=1}？

以下是一个使用 Python 编写的 NPDA，可以接受 L = {an bm cn | m,n>=1}：

class NPDA:
    def __init__(self, transitions, start_state, accept_states, stack, input_string):
        self.transitions = transitions
        self.start_state = start_state
        self.accept_states = accept_states
        self.stack = stack
        self.input_string = input_string
        self.current_configs = [(self.start_state, self.input_string, self.stack)]

    def get_next_configs(self, config):
        (state, input_string, stack) = config
        next_configs = []
        if input_string == '':
            return next_configs
        key = (state, input_string[0], stack[-1])
        if key in self.transitions:
            dest_configs = self.transitions[key]
            for dest_config in dest_configs:
                new_stack = stack[:-1] + dest_config[2]
                next_config = (dest_config[0], input_string[1:], new_stack)
                next_configs.append(next_config)
        key = (state, None, stack[-1])
        if key in self.transitions:
            dest_configs = self.transitions[key]
            for dest_config in dest_configs:
                new_stack = stack[:-1] + dest_config[2]
                next_config = (dest_config[0], input_string, new_stack)
                next_configs.append(next_config)
        return next_configs

    def accept_input(self):
        for config in self.current_configs:
            (state, input_string, stack) = config
            if input_string == '' and stack == ['$'] and state in self.accept_states:
                return True
        new_configs = []
        for config in self.current_configs:
            (state, input_string, stack) = config
            for next_config in self.get_next_configs(config):
                if next_config not in new_configs:
                    new_configs.append(next_config)
        self.current_configs = new_configs
        return len(self.current_configs) > 0

# Define transitions for the NPDA
transitions = { 
    (0, 'a', '$'): [(0, 'a', 'A$')],
    (0, None, '$'): [(1, None, '$')], 
    (1, 'b', 'A'): [(1, 'b', 'AA')],
    (1, 'c', 'A'): [(2, 'c', None)]
}

# Set up the NPDA and process input
npda = NPDA(transitions, 0, [2], ['$'], 'aaabbccc')
while True:
    if not npda.accept_input():
        print("Rejected")
        break
    elif npda.accept_input() and len(npda.current_configs) == 0:
        print("Accepted")
        break

以上程序实现了一个 NPDA，可以接受 L = {an bm cn | m,n>=1}，其中 n 个 a 会 push A 到栈中，然后在碰到 b 的时候 push A 到栈中，碰到 c 的时候 pop A 出栈，如果在处理完整个输入后栈为空且最终状态为接受状态，则该输入被接受。