NPDA 接受语言 L = {an bn | n>=1}

简介

在计算理论中，NPDA（非确定性有限自动机）是一种有限状态自动机，具有更高的计算功能。它可以使用非确定性转换，即一个输入符号可以有多个转换，这使得NPDA比DFA（确定性有限自动机）更灵活。

本文将介绍如何使用NPDA接受语言L = {an bn | n>=1}，也就是由n个a和n个b组成的字符串。我们将使用带堆栈的机器来建立NPDA。

算法

我们将NPDA的状态定义为(q, w, S)的形式，其中q是当前状态，w是未扫描的输入串，S是堆栈中的符号。初始状态为(q0, w0, Z)，其中q0是初始状态，w0是输入字符串，Z是堆栈的底部符号。如果堆栈为空，我们记为[$]。

NPDA可以在不确定性转换之间进行转换，因此在状态转换时，我们可以从当前状态(q, w, S)到任何具有一个相同前缀字符的状态(q', w', S')，其中w' = aw和S' = XS，a是输入符号，X是堆栈上的任意符号。此时，我们可以同时将a和X弹出堆栈，将w'入栈，并转移到状态(q', w', S')。

在接受状态(qf, ε, [$])时，如果输入串的长度与栈中$的数量相同（即n个a和n个b），则NPDA接受该字符串，否则拒绝。

代码

下面是Python代码，用于实现NPDA接受语言L = {an bn | n>=1}。在代码中，我们使用了Python的collections.deque作为堆栈和一个字典来存储状态转移。

from collections import deque

class NPDA():
    def __init__(self, states, input_symbols, stack_symbols, transitions, start_states, accept_states):
        self.states = states
        self.input_symbols = input_symbols
        self.stack_symbols = stack_symbols
        self.transitions = transitions
        self.start_states = start_states
        self.accept_states = accept_states
    
    def is_accepted(self, input_string):
        stack = deque(['$'])
        current_configs = set()
        next_configs = set()
        for start_state in self.start_states:
            current_configs.add((start_state, input_string, stack))

        for a in input_string:
            while current_configs:
                state, remain_input, remain_stack = current_configs.pop()
                if (state, a, remain_stack[-1]) in self.transitions:
                    for next_state, push_stack in self.transitions[(state, a, remain_stack[-1])]:
                        if push_stack != ' ':
                            stack.append(push_stack)
                        next_configs.add((next_state, remain_input, stack))
            
            current_configs = next_configs
            next_configs = set()
        
        while current_configs:
            state, remain_input, remain_stack = current_configs.pop()
            if remain_input == '' and len(remain_stack) == 1:
                if state in self.accept_states:
                    return True

            if (state, '', remain_stack[-1]) in self.transitions:
                for next_state, push_stack in self.transitions[(state, '', remain_stack[-1])]:
                    if push_stack != ' ':
                        stack.append(push_stack)
                    next_configs.add((next_state, remain_input, stack))

        return False

states = {0, 1, 2}
input_symbols = {'a', 'b'}
stack_symbols = {'$', 'A'}
start_states = {0}
accept_states = {2}
transitions = {
    (0, 'a', '$'): {(0, 'A$')},
    (0, 'b', 'A'): {(1, ' ')},
    (1, 'b', 'A'): {(1, ' ')},
    (1, '', '$'): {(2, '$')}
}

npda = NPDA(states, input_symbols, stack_symbols, transitions, start_states, accept_states)
print(npda.is_accepted('aabb')) # True

总结

本文介绍了如何使用NPDA接受语言L = {an bn | n>=1}。我们对NPDA的状态转换和堆栈操作进行了详细的解释，并给出了Python代码实现。由于NPDA具有更高的计算能力，因此它在理论上有很多应用，例如形式语言理论、自然语言处理等领域。