NPDA 接受语言 L = {anb(2n) | n>=1} U {anbn | n>=1}

先决条件——下推自动机，下推自动机被最终状态接受
问题 –设计一个非确定性的 PDA 来接受语言 L = { $a^n$$b^{2n}$ : n>=1} U { $a^n$$b^{n}$ ：n>=1}，即

L = {abb, aabbbb, aaabbbbbb, aaaabbbbbbbb, ......} 
          U {ab, aabb, aaabbb, aaaabbbb, ......} 

在每个字符串，a 的数量后跟 b 的两倍或 a 的数量后跟 b 的数量相等。

解释 –
在这里，我们需要保持a和b的顺序。也就是说，所有的a先来，然后所有的b都来。因此，我们需要一个堆栈和状态图。 a 和 b 的计数由堆栈维护。我们将采用 2 个堆栈字母表：

$\Gamma$ = { a, z }

在哪里，
$\Gamma$ = 所有堆栈字母的集合
z = 堆栈起始符号

用于构建PDA的方法 –
在设计 NPDA 时，每个“a”都在“b”之前。如果’b’来了

• 为了$a^n$$b^{n}$ : 每当“a”出现时，将其压入堆栈，如果“a”再次出现，则将其压入堆栈。
• 为了$a^n$$b^{2n}$ ：每当“a”出现时，将“a”推入堆栈两次，如果“a”再次出现，则执行相同操作。
  当 ‘b’ 出现时(记住 b 出现在 ‘a’ 之后)然后每次从堆栈中弹出一个 ‘a’。

这样栈就变空了。如果栈是空的，那么我们就可以说这个字符串被PDA接受了。

堆栈转换函数 –

$\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q1, az) $\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q3, aaz) $\delta$ (q1, a, a) $\vdash$ (q1, aa) $\delta$ (q1, b, a) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, b, a) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, $\epsilon$ , z) $\vdash$ (qf1, z) $\delta$ (q3 a, a) $\vdash$ (q3, aaa) $\delta$ (q3, b, a) $\vdash$ (q4, $\epsilon$ ) $\delta$ (q4, b, a) $\vdash$ (q4, $\epsilon$ ) $\delta$ (q4, $\epsilon$ , z) $\vdash$ (qf2, z)

其中，q0 = 初始状态
qf1, qf2 = 最终状态
$\epsilon$ = 表示弹出操作

所以，这是我们接受语言 L ={ 所需的非确定性 PDA $a^n$$b^{2n}$ : n>=1} U { $a^n$$b^{n}$ ：n>=1}。