完全K个完美平方数的子数组

给定一个整数数组和一个整数K，您需要找到具有完全K个完美平方数的不同子数组的数量。

完美平方数是一个整数的平方，例如1、4、9、16等。

例如，给定数组[2,2,2,1,2]和K = 1，答案是5，因为有5个具有1个完美平方数的不同子数组：[2]，[2]，[2]，[1]和[1]。

解决方案

这是一个计数问题。我们可以通过枚举所有可能的子数组来解决它，暴力计算每个子数组中完美平方数的数量。

具有完全K个完美平方数的子数组数目等于拥有K个完美平方数的子数组的总数，减去拥有K-1个完美平方数的子数组的总数。

因此，我们可以将问题分解为3个子问题：

1.如何计算子数组中的完美平方数数量？

2.如何计算拥有K个完美平方数的子数组的总数？

3.如何计算拥有K-1个完美平方数的子数组的总数？

计算子数组中的完美平方数数量

对于给定的子数组，我们可以使用一个循环来计算它包含的完美平方数的数量，如下所示：

def count_perfect_squares(subarray):
    count = 0
    for x in subarray:
        if int(x**0.5)**2 == x:
            count += 1
    return count

该函数遍历子数组中的每个元素，并检查它是否是完美平方数。如果是，就把计数器+1。最后，它返回完美平方数的数量。

计算拥有K个完美平方数的子数组的总数

为了计算拥有K个完美平方数的子数组的总数，我们需要枚举所有子数组，并计算它们中包含的完美平方数数量。这是一种非常低效的方法，时间复杂度为O(n^3)。

我们可以使用一个空间为O(n^2)的动态规划解决这个问题。我们定义一个n x n数组dp，其中dp[i][j]表示第i个元素到第j个元素之间有多少个完美平方数。

我们可以使用以下递归式来计算dp数组：

$$ dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + is_perfect_square(i,j) $$

其中，is_perfect_square(i,j)是一个函数，它返回第i个元素到第j个元素之间有多少个完美平方数。

该递归式是基于容斥原理得出的，因为一个子数组可能在左侧、右侧或两者都包含完美平方数，而我们没有将重叠的部分计算两次。

现在，可以使用以下代码来实现dp数组的计算：

def count_subarrays_with_k_perfect_squares(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [[0]*n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1 if int(arr[i]**0.5)**2 == arr[i] else 0
    for length in range(2, n+1):
        for start in range(n-length+1):
            end = start + length - 1
            dp[start][end] = dp[start][end-1] + dp[start+1][end] - dp[start+1][end-1] + (count_perfect_squares(arr[start:end+1]) == k)
    return dp[0][n-1]

该函数接受一个数组和一个k值，并返回具有k个完美平方数的不同子数组的数量。

计算拥有K-1个完美平方数的子数组的总数

我们可以使用与上述函数类似的方式计算拥有K-1个完美平方数的子数组的总数，只需将K值减1即可：

def count_subarrays_with_k_minus_1_perfect_squares(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [[0]*n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1 if int(arr[i]**0.5)**2 == arr[i] else 0
    for length in range(2, n+1):
        for start in range(n-length+1):
            end = start + length - 1
            dp[start][end] = dp[start][end-1] + dp[start+1][end] - dp[start+1][end-1] + (count_perfect_squares(arr[start:end+1]) == k-1)
    return dp[0][n-1]

这个函数也接受一个数组和一个k值，并返回具有k-1个完美平方数的不同子数组的数量。

计算具有完全K个完美平方数的不同子数组的数量

最后，我们可以将上述函数组合在一起，计算具有完全k个完美平方数的不同子数组的数量，如下所示：

def count_subarrays_with_k_perfect_squares(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [[0]*n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1 if int(arr[i]**0.5)**2 == arr[i] else 0
    for length in range(2, n+1):
        for start in range(n-length+1):
            end = start + length - 1
            dp[start][end] = dp[start][end-1] + dp[start+1][end] - dp[start+1][end-1] + (count_perfect_squares(arr[start:end+1]) == k)
    count_k = dp[0][n-1]
    count_k_minus_1 = count_subarrays_with_k_minus_1_perfect_squares(arr, k-1)
    return count_k - count_k_minus_1

这个函数调用上述两个函数计算拥有K个完美平方数和K-1个完美平方数的子数组的总数，并返回它们之间的差值，这就是我们想要的结果。

总结

在本文中，我们介绍了如何计算具有完全K个完美平方数的不同子数组的数量。我们分别介绍了计算子数组中的完美平方数数量、计算拥有K个完美平方数的子数组的总数以及计算拥有K-1个完美平方数的子数组的总数这三个问题的解决方法。最后，我们将这些函数组合在一起，并编写了一个完整的计算数量的函数。