数组中三元组对之间的绝对差的最小总和

介绍

给定一个数组，找到所有三元组对，计算它们之间的绝对差，并返回这些绝对差的最小总和。

比如，数组 [1, 2, 3, 4, 5] 中，三元组对有：

• (1, 2, 3)
• (2, 3, 4)
• (3, 4, 5)

它们之间的绝对差分别为：

• |1 - 2| + |2 - 3| = 2
• |2 - 3| + |3 - 4| = 2
• |3 - 4| + |4 - 5| = 2

它们之间的绝对差最小，因此返回结果为 6。

解法

做法一

我们可以通过暴力枚举三元组对，然后计算它们之间的绝对差来进行求解。时间复杂度为 O(n^3)。

代码示例：

def min_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            for k in range(j + 1, n):
                diff = abs(arr[i] - arr[j]) + abs(arr[j] - arr[k]) + abs(arr[k] - arr[i])
                ans = min(ans, diff)
    return ans

做法二

我们可以利用排序来优化上述的暴力算法。首先，我们对数组进行排序，然后枚举任意两个数 a[i], a[j]（假设 i < j）。对于每个数对，我们可以二分查找 a[k]（k > j），使得三元组 (a[i], a[j], a[k]) 存在。在查找过程中，维护当前最小的绝对差。时间复杂度为 O(n^2 log n)。

代码示例：

def min_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    arr.sort()
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            k = bisect_left(arr, arr[j] + arr[j] - arr[i], j + 1, n)
            if k < n:
                diff = abs(arr[i] - arr[j]) + abs(arr[j] - arr[k]) + abs(arr[k] - arr[i])
                ans = min(ans, diff)
            if k > j + 1:
                k = k - 1
                diff = abs(arr[i] - arr[j]) + abs(arr[j] - arr[k]) + abs(arr[k] - arr[i])
                ans = min(ans, diff)
    return ans

做法三

我们可以利用数学公式简化原问题。假设当前三元组为 (a, b, c)，不妨设 a <= b <= c，我们可以将其绝对差按顺序计算：

(a - b) + (b - c) + (c - a) = 2 * (c - a)

这里的计算过程基于一个数学公式：|a - b| + |b - c| = |a - c| + 2 * |b - c|。我们可以发现，上式中 (c - a) 与原问题中三元组 a, b, c 的值无关，因此我们只需找到相邻的两个数 a 和 c，使得它们与 b 组成的三元组的绝对差最小即可。

时间复杂度为 O(n log n)。

代码示例：

def min_abs_diff(arr):
    arr.sort()
    n = len(arr)
    return min([2 * (arr[i + 2] - arr[i]) for i in range(n - 2)])

总结

本题目采用了不同的做法，其时间复杂度及空间复杂度也不相同。我们可以通过对不同算法的分析和比较，选择适合自己场景的解法。对于本题，由于数据规模较小，我们可以采用暴力枚举的方式进行求解。