如果不超过两点共线，则平面中的三角形数

在平面直角坐标系中，三点不共线时，可以构成一个三角形。但是如果有多个点共线，就无法构成三角形了。

考虑这样一个问题：如果有 $n$ 个不共线的点，那么它们可以构成多少个三角形呢？

在计算这个问题之前，我们先了解一下“组合数”的概念。组合数 $C_n^m$ 表示从 $n$ 个不同的元素中选出 $m$ 个元素的选法数，其计算公式为：

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

根据数学原理，三角形的三个顶点必须不共线。要计算平面上 $n$ 个不共线的点所组成的三角形数，可以考虑对每个点进行配对。

以 $n=6$ 为例，对这 $6$ 个点进行配对，可以得到如下的情况：

（1）A-B-C 的情况：$1$ 种

（2）A-B-D/E/F 的情况：$3$ 种

（3）A-C-D/E/F 的情况：$3$ 种

（4）B-C-D/E/F 的情况：$3$ 种

（5）D-E-F 的情况：$1$ 种

根据组合数的概念，对于每个配对情况，可以计算出可以构成的三角形数量。比如对于情况（2），可以构成 $\large C_3^2$ 个三角形；对于情况（1），可以构成 $\large C_3^3$ 个三角形。

因此，总共可以构成的三角形数量为：

$$\underline{C_n^2-\sum_{i=1}^n C_i^2}$$

对于这个公式，其实可以进行简化。由于 $\large C_n^0=1$，因此可以将 $C_n^2$ 拆成 $C_n^0+C_n^1+C_n^2$。然后进行一些计算和化简，可以得到下面的公式：

$$\underline{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$$

下面是一个Python函数实现：

def count_triangles(n):
    """
    计算平面上给定数量的点所能构成的三角形数
    :param n: 点的数量
    :return: 三角形数
    """
    if n < 3:
        return 0
    return n * (n - 1) * (n - 2) // 6 - sum([i * (i - 1) // 2 for i in range(1, n)])

注意，在计算 $\sum_{i=1}^n C_i^2$ 时，可以使用公式 $\large\sum_{i=1}^n C_i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，这样就不用循环计算了。