三角形数

三角形数是一个有趣的数学概念，它是自然数序列的一种形式，以三角形的形状来展现，每一层都有相同数量的数字，从顶层的一个数字开始逐渐增加，最后一层的数字数量等于序列的项数。第n个三角形数T(n)的公式是：T(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = n*(n+1)/2。

如何计算n个三角形数

我们可以用循环语句来计算前n个三角形数：

def triangle_numbers(n):
    for i in range(1, n+1):
        print(i*(i+1)//2)

以上代码会打印出前n个三角形数。需要注意的是，当n很大时，计算速度会变慢，这时可以考虑用数学公式来计算。

判断一个数是否为三角形数

我们可以用以下公式来判断一个数是否为三角形数：

n = ((8*x + 1)**0.5 - 1)/2

如果n是整数，则x是三角形数。具体实现如下：

import math

def is_triangle_number(x):
    n = (math.sqrt(8*x+1)-1)/2
    return n == int(n)

以上代码会返回True或False，表示输入的x是否为三角形数。

三角形数的性质

三角形数有很多有趣的性质。以下是一些常见的性质：

• 任何一个正整数都可以表示为连续奇数之和的形式，即x = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1)，而这个式子恰好等于n²，其中n为连续奇数的个数。因此，x也是第n个三角形数，即x=T(n)。
• 任何一个正整数都可以表示成不超过3个三角形数之和的形式。这个性质称为Euler的定理。例如，10 = T(4) + T(1) = 10 + 1。
• 三角形数的生成函数是1/(1-x)^3，即三角形数序列的一个形式幂级数展开。