三角形最短路径的最小长度

什么是三角形最短路径问题？

三角形最短路径问题是指从三角形的顶点开始，沿着要求的路径（可以向左下或右下）到达最后一行的点，使得经过的路径上的数字和最小。例如，对于以下数值三角形：

   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3

从顶点2出发，可以选择3或4作为下一层的走向。若选择3，则下一步可以选择6或5; 若选择4，则下一步可以选择5或7。选择6或5的最短路径都会到达最底层，而选择5是最短路径。因此，该路径的最小长度为2 + 3 + 5 + 1 = 11。

如何解决三角形最短路径问题？

三角形最短路径问题可以通过动态规划的方法来解决。假设原始的数值三角形为triangle，该三角形共有n行。定义状态dp[i][j]表示从第i行第j列节点出发，到达第n行的最小路径和。那么可以得到动态规划的式子：

$$ dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j] $$

其中triangle[i][j]表示第i行第j列节点的值。状态dp[0][0]即为题目所求的最小路径和。求解dp的过程可以通过从下向上逐层递推得到。具体来说，从第n-1行开始，对于每一层，从左到右地计算dp[i][j]的值。最后，dp[0][0]的值即为所求。

下面是Python代码实现该算法：

def minimumTotal(triangle):
    """
    :type triangle: List[List[int]]
    :rtype: int
    """
    n = len(triangle)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[n-1][i] = triangle[n-1][i]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
    return dp[0][0]

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为数值三角形的行数。可以通过空间优化将空间复杂度降至O(n)。