Dijkstra的算法

Dijkstra的算法解决了有向加权图G =(V，E)上的单源最短路径问题，其中所有边均为非负值(即，每个边的w(u，v) ≥0 (u，v )ЄE )。

在以下算法中，我们将使用一个函数Extract-Min() ，该函数提取具有最小密钥的节点。

Algorithm: Dijkstra’s-Algorithm (G, w, s) 
for each vertex v Є G.V  
   v.d := ∞ 
   v.∏ := NIL 
s.d := 0 
S := Ф 
Q := G.V 
while Q ≠ Ф 
   u := Extract-Min (Q) 
   S := S U {u} 
   for each vertex v Є G.adj[u] 
      if v.d > u.d + w(u, v) 
         v.d := u.d + w(u, v) 
         v.∏ := u

分析

该算法的复杂性完全取决于Extract-Min函数。如果使用线性搜索实现提取最小函数，则该算法的复杂度为O(V ² + E) 。

在此算法中，如果我们使用min-heap， Extract-Min()函数将其用于从具有最小密钥的Q返回节点，则可以进一步降低该算法的复杂性。

例

让我们分别将顶点1和9视为起始顶点和目标顶点。最初，除起始顶点以外的所有顶点都标记为∞，起始顶点则标记为0 。

因此，顶点9与顶点1的最小距离为20 。路径是

1→3→7→8→6→9

该路径是根据前驱信息确定的。

贝尔曼福特算法

该算法解决了边权重可能为负的有向图G =(V，E)的单源最短路径问题。此外，如果不存在任何负加权循环，则该算法可用于找到最短路径。

Algorithm: Bellman-Ford-Algorithm (G, w, s) 
for each vertex v Є G.V  
   v.d := ∞ 
   v.∏ := NIL 
s.d := 0 
for i = 1 to |G.V| - 1 
   for each edge (u, v) Є G.E 
      if v.d > u.d + w(u, v) 
         v.d := u.d +w(u, v) 
         v.∏ := u 
for each edge (u, v) Є G.E 
   if v.d > u.d + w(u, v) 
      return FALSE 
return TRUE

分析

第一个for循环用于初始化，运行时间为O(V)次。下一个for循环运行| V-1 |经过边缘，这需要O(E)次。

因此，Bellman-Ford算法运行时间为O(V，E) 。

例

下面的示例逐步说明了Bellman-Ford算法的工作原理。该图具有负边缘，但没有任何负周期，因此可以使用此技术解决问题。

在初始化时，除源以外的所有顶点都用∞标记，而源用0标记。

第一步，以最小成本更新可从源到达的所有顶点。因此，顶点a和h被更新。

在下一步中，将更新顶点a，b，f和e 。

按照相同的逻辑，在此步骤中，更新顶点b，f，c和g 。

在这里，顶点c和d被更新。

因此，顶点s与顶点d之间的最小距离为20 。

根据先前的信息，路径为s→h→e→g→c→d