使用旋转卡尺方法在坐标平面中两点之间的最大距离

介绍

旋转卡尺方法是一种求解点集凸壳的算法，其基本思想是绕点集的凸壳旋转卡尺，在旋转过程中去寻找距离最远的两个点。这种算法可以采用两个指针分别指向凸壳上的两个点，然后不断旋转卡尺直到两个指针重合，期间记录下距离最大的两点距离即可。

算法流程

1. 将所有点按照x轴坐标进行排序；
2. 选取最左边和最右边的两个点p1和p2作为凸壳的起始点，初始化最大距离为0；
3. 通过向量积来判断当前点与当前向量是否在同一侧；
4. 如果当前点不在向量的同一侧，则将卡尺顺时针旋转，直到当前点在向量的同一侧；
5. 计算当前点与起始点p1和p2的距离，如果大于当前最大距离，则替换最大距离；
6. 将当前点和p1或p2（即在同一侧的那个点）替换为旋转卡尺之后的点，然后继续寻找下一个点；
7. 如果最后一个点与p1和p2的连线不在卡尺之间，则继续顺时针旋转卡尺直到最后一个点在卡尺之间。

代码实现

def cal_distance(p1, p2):
    """
    计算两个点之间的欧几里得距离
    """
    return ((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2)**0.5


def rotating_calipers(points):
    """
    旋转卡尺算法
    points: 点的坐标列表，每个元素是一个 tuple (x, y)
    return: 最大距离
    """
    n = len(points)
    if n < 2:
        return 0
    
    # 排序，记录起始点和当前最大距离
    points.sort()
    p1, p2 = points[0], points[-1]
    max_distance = cal_distance(p1, p2)
    
    # 初始化旋转卡尺，首先定义向量 (1, 0)
    v_start = (1, 0)
    i, j = 0, n-1
    
    while i < j:
        # 旋转卡尺，通过向量积来判断当前点和向量的相对方向
        v_tmp = (points[i+1][0]-points[i][0], points[i+1][1]-points[i][1])
        v_rotate = (-v_tmp[1], v_tmp[0])
        while j > i+1:
            v_p = (points[j][0]-points[i][0], points[j][1]-points[i][1])
            if v_rotate[0]*v_p[0] + v_rotate[1]*v_p[1] > 0:
                break
            j -= 1
        
        # 计算当前点和p1、p2之间的距离，更新最大距离
        cur_distance = cal_distance(points[i], p1)
        if cur_distance > max_distance:
            max_distance = cur_distance
            p2 = points[i]
        
        cur_distance = cal_distance(points[j], p2)
        if cur_distance > max_distance:
            max_distance = cur_distance
            p1 = points[j]
        
        i += 1
    
    return max_distance

参考文献

• 旋转卡尺法
• rotating calipers