使用旋转卡尺方法在坐标平面中两点之间的最大距离

是什么？

旋转卡尺算法是计算平面上多个点两两之间距离的一种优秀算法，被广泛应用于计算凸包、最大最小距离问题等。

怎么实现？

首先，我们需要按照 x 坐标从小到大排序，如果有多个点的 x 坐标相同，则按照 y 坐标从小到大排序。排序后的点的集合记为 P 。

设点对 (p1, p2) 与 (p3, p4) 的距离为 d ，且 d 是所有点对中的最大值。由于 p1 和 p2 分别是 P 中的最左点和最右点，则它们与其它点的距离不可能超过 d 。因此，我们可以将平面分成两个部分，左边的所有点的 x 坐标都小于等于 p1 的 x 坐标，右边的所有点的 x 坐标都大于等于 p2 的 x 坐标。对于左边的点和右边的点，我们分别使用旋转卡尺算法求出它们内部的最小距离，然后将两个最小距离的较小值与 d 进行比较，即可得到最终结果。

旋转卡尺算法的本质是容斥原理。对于任意一个点 p ，它与任意一个点对 (p1, p2) 的距离的平方可以表示为：(p.x - p1.x)² + (p.y - p1.y)² + (p.x - p2.x)² + (p.y - p2.y)² 。我们需要找到满足这个式子小于或等于 d² 的点对。我们从左到右遍历点 p ，顺序枚举点对 (p1, p2) ，当点对 (p1, p2) 与点 p 之间的垂线长度超过 d 时，就将点对中较左边(或较下面)的那个点移动到下一个点，进行下一个点对的枚举；否则，我们将点对中较右边(或较上面)的那个点移动到下一个点，继续保持点对之间的垂线长度不超过 d 。这个过程中，我们不断更新最小距离，直到遍历完所有的点对。需要注意的是，如果点对 (p1, p2) 中间的一些点已经淘汰了，我们需要将它们从两个区间中移除。

代码实现

def dist(p1, p2):
    return (p1.x - p2.x) ** 2 + (p1.y - p2.y) ** 2

def solve(l, r, P):
    if l == r:
        return float('inf')
    if l + 1 == r:
        return dist(P[l], P[r])
    mid = (l + r) // 2
    d = min(solve(l, mid, P), solve(mid + 1, r, P))

    part = []
    for p in P:
        if abs(p.x - P[mid].x) <= d:
            part.append(p)
    part.sort(key = lambda p: p.y)

    for i in range(len(part)):
        for j in range(i + 1, len(part)):
            if part[j].y - part[i].y > d:
                break
            d = min(d, dist(part[i], part[j]))
    return d

def max_dist(P):
    P.sort(key = lambda p: (p.x, p.y))
    return solve(0, len(P) - 1, P)

上述代码中，dist 函数用于计算两个点之间的距离的平方；solve 函数用于分治求解最小距离，其中最重要的一步就是在中间的部分寻找可以淘汰的点；max_dist 函数是暴露给用户的接口，用于计算给定点集合中最大的距离。

总结

旋转卡尺算法是一种非常实用的算法，可用于计算平面上多个点两两之间的距离的最大值。它的时间复杂度为 O(n log n) ，空间复杂度也为 O(n) ，非常适合用于实际的计算问题中。