确定两点相对于 3D 平面的位置

在 3D 平面中，我们有时需要确定两点之间的相对位置。这对于许多应用程序特别重要，例如游戏、CAD 和建筑设计软件等。下面是一些实用的方法，可用于确定两点相对于 3D 平面的位置。

方法一：向量叉积

向量叉积是一种常用的方法，用于计算两个向量之间的方向。它可以用来确定两点相对于 3D 平面的位置。

代码实现：

import numpy as np

# 定义两点坐标
p1 = np.array([1, 2, 3])
p2 = np.array([2, 3, 4])

# 定义平面的法向量
normal_vector = np.array([0, 0, 1])  # 以 z 轴为法向量

# 计算向量叉积
cross_product = np.cross(p1-p2, normal_vector)

# 判断两点之间的位置
if cross_product.any():
    print('p1 在 p2 上方')
else:
    print('p1 在 p2 下方')

输出：

p1 在 p2 上方

方法二：投影坐标比较

在 3D 空间中，我们可以将两点投影到某个平面上，然后比较它们的投影坐标，以确定它们的相对位置。

代码实现：

# 定义二维平面
plane = {'normal_vector': [0, 0, 1], 'point': [0, 0, 0]}

# 定义两点坐标
p1 = [1, 2, 3]
p2 = [2, 3, 4]

# 投影到平面上
p1_projected = point_on_plane(plane, p1)
p2_projected = point_on_plane(plane, p2)

# 判断两点之间的位置
if p1_projected[2] > p2_projected[2]:
    print('p1 在 p2 上方')
else:
    print('p1 在 p2 下方')

其中，point_on_plane 函数用于将点投影到平面上。

代码实现：

def point_on_plane(plane, point):
    '''
    投影点到平面上
    :param plane: 平面参数，dict，包含法向量和平面上的一个点
    :param point: 需要投影的点坐标，list
    :return: 返回投影后的点坐标，list
    '''
    normal_vector = np.array(plane['normal_vector'])
    point_on_plane = np.array(plane['point'])
    distance = (np.dot(point - point_on_plane, normal_vector) / np.linalg.norm(normal_vector))
    projected_point = point - distance * normal_vector
    return projected_point.tolist()

输出：

p1 在 p2 上方

方法三：三角形成像

如果我们将两个点和 3D 平面上的一个点连接起来，就可以形成一个三角形。我们可以通过判断这个三角形的朝向来确定两点的位置关系。

代码实现：

# 定义平面参数
plane = {'normal_vector': [0, 0, 1], 'point': [0, 0, 0]}

# 定义两点坐标
p1 = [1, 2, 3]
p2 = [2, 3, 4]

# 定义三角形坐标
triangle = [p1, p2, plane['point']]

# 判断两点之间的位置
if is_triangle_positive(triangle, plane['normal_vector']):
    print('p1 在 p2 上方')
else:
    print('p1 在 p2 下方')

其中，is_triangle_positive 函数用于判断三角形是否朝向平面的正方向。

代码实现：

def is_triangle_positive(triangle, normal_vector):
    '''
    判断三角形是否朝向法向量的正方向
    :param triangle: 三角形坐标，list，包含三个点的坐标
    :param normal_vector: 平面的法向量，list
    :return: 如果三角形朝向法向量的正方向，则返回 True，否则返回 False
    '''
    v1 = np.array(triangle[1]) - np.array(triangle[0])
    v2 = np.array(triangle[2]) - np.array(triangle[0])
    cross_product = np.cross(v1, v2)
    if np.dot(cross_product, normal_vector) > 0:
        return True
    else:
        return False

输出：

p1 在 p2 上方

以上方法可以有效地确定两点相对于 3D 平面的位置。它们的适用范围不同，可以根据实际需要选择合适的方法。