确定一个数是否可以写为 k 个数的乘积

在这个问题中，我们需要确定一个正整数 n 是否可以被分解成 k 个正整数的乘积。如果可以，我们需要找到这 k 个数。

算法分析

我们可以使用递归的方式来解决这个问题。我们先定义递归函数

def find_factors(n, k, curr_factor, factors):
    """
    在 n 中查找 k 个数的乘积，放入 factors 中。
    
    Args:
      n: 待分解的正整数
      k: 需要分解成 k 个数的乘积
      curr_factor: 当前的因子
      factors: 存放找到的 k 个数
    """
    pass

我们的目标是在 n 中查找 k 个数的乘积，结果放在 factors 数组中。在递归的过程中，我们需要一个变量 curr_factor 来表示当前找到的因子，它表示将要被放入 factors 中的数。本次递归可以考虑 curr_factor 到 n 之间的所有因子。在递归的过程中，我们需要修改 n 和 k 的值，以便在下一次递归中继续处理剩余的数字。

总的来说，递归函数大致如下：

def find_factors(n, k, curr_factor, factors):
    # 如果已经找到了 k 个数，则返回 True
    if k == 0:
        return True
    
    # 在 curr_factor~n 中搜索因子
    for i in range(curr_factor, n + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)  # 找到一个因子
            # 递归查找剩余的数字            
            if find_factors(n // i, k - 1, i, factors):
                return True
            # 回溯
            factors.pop()      
    
    return False

代码实现

最终的代码如下：

def find_factors(n, k):
    factors = []
    if find_factors_helper(n, k, 2, factors):
        return factors
    return None

def find_factors_helper(n, k, curr_factor, factors):
    # 如果已经找到了 k 个数，则返回 True
    if k == 0:
        return True
    
    # 在 curr_factor~n 中搜索因子
    for i in range(curr_factor, n + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)  # 找到一个因子
            # 递归查找剩余的数字            
            if find_factors_helper(n // i, k - 1, i, factors):
                return True
            # 回溯
            factors.pop()      
    
    return False

测试

我们可以使用 assert 语句来测试我们的代码：

assert find_factors(12, 2) == [2, 6]
assert find_factors(18648, 3) == [2, 3, 3108]
assert find_factors(100, 4) is None
assert find_factors(1, 1) == [1]
assert find_factors(24, 3) == [2, 3, 4]

总结

在本文中，我们解决了一个有趣的问题：如何确定一个正整数是否可以被分解成 k 个正整数的乘积。通过使用递归，我们可以很容易地实现这个问题。这个算法的时间复杂度是 O(n^k)，因为我们每次递归遍历 curr_factor~n 的所有因子，然后在剩余的数字中递归查找剩余 k-1 个数。在一些情况下，这个算法的时间复杂度可能会非常高，因此我们需要谨慎使用。