检查数字是否可以写为素数的总和

在这个问题中，我们需要确定一个数字是否可以表示为若干个素数的总和。我们可以使用动态编程来解决此问题。

动态编程方法

为了解决此问题，我们需要快速检查给定数字是否为质数。为此，我们将使用埃拉托色尼筛法，该方法使用布尔数组来标记质数。

埃拉托色尼筛法

首先，我们创建一个名为 is_prime 的数组，其中每个数字都初始化为 True。我们还将 is_prime[0] 和 is_prime[1] 设置为 False，因为它们不是质数。

def sieve_of_eratosthenes(n):
    is_prime = [True for _ in range(n + 1)]
    is_prime[0], is_prime[1] = False, False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return is_prime

现在，我们可以使用 sieve_of_eratosthenes 函数来快速检查给定数字是否为质数。

动态规划

有了质数检查的函数，我们现在可以考虑如何使用动态编程来解决问题。我们将创建一个名为 dp 的列表，其中 dp[i] 表示数字 i 是否可以表示为若干个素数的总和。

我们初始化 dp[0] 为 True。然后，我们迭代 dp 列表。对于每个数字 i，我们将其分解为所有可能的素数总和，并检查每个素数是否为质数并且其余数字是否可以由其余素数表示为总和。如果是这样，我们将 dp[i] 设置为 True。

def can_sum_to_prime(n, primes):
    dp = [False for _ in range(n + 1)]
    dp[0] = True
    for i in range(n + 1):
        if dp[i]:
            for prime in primes:
                if i + prime <= n and is_prime[prime]:
                    dp[i + prime] = True
    return dp[n]

整合函数

现在，我们可以将两个函数组合在一起来解决问题。

def check_prime_sum(n):
    primes = [p for p in range(2, n) if is_prime[p]]
    return can_sum_to_prime(n, primes)

示例

让我们测试一下我们的函数。

is_prime = sieve_of_eratosthenes(100)
assert check_prime_sum(10) == True
assert check_prime_sum(20) == True
assert check_prime_sum(30) == True
assert check_prime_sum(40) == False
assert check_prime_sum(41) == True
assert check_prime_sum(42) == True
assert check_prime_sum(50) == True
assert check_prime_sum(100) == True
assert check_prime_sum(101) == False

结论

在这篇文章中，我们介绍了使用动态编程来检查一个数字是否可以表示为若干个素数的总和。通过使用埃拉托色尼筛法和动态规划，我们可以高效地解决这个问题。