将矩阵划分为 K 组相邻单元格

问题描述

给定一个长度为 m×n 的矩阵，我们需要将其划分成 K 个相邻的子矩阵，每个子矩阵的大小可以不同。要求子矩阵的大小最大值和最小值之差最小。即使得 $maxSize - minSize$ 最小。

解决方案

这个问题可以使用二分查找和贪心策略相结合的方法来解决。

二分查找

因为子矩阵的大小范围在 $[0, m \times n]$ 之间，那么对于任意取定的最大子矩阵大小 maxS，如果我们能找到一种划分的方案，使得最大子矩阵的大小不大于 maxS，那么就可以得到一个最小的 minS，使得 $maxS - minS \leq 1$。

那么问题就变成了如何验证这个方案是否可行。为此，我们可以利用贪心策略来实现，在保证每个子矩阵大小不超过 maxS 的前提下，尽可能平均划分矩阵。

贪心策略

具体来说，我们可以先将矩阵的第一行和第一列分别累加成 m 和 n 个数字，然后将其排序并依次取出前 K-1 个数字，这些数字表示子矩阵的边界所在的列或行。

接下来，我们可以利用双指针来逼近每个子矩阵的大小，具体步骤如下：

1. 将第 1 行和第 1 列的数字之和记为 cur，令 l = 2，r = 2。
2. 如果 cur 不大于 maxS，则尝试将下一列（或下一行）加入子矩阵，即让 r++。直到 cur 大于 maxS，并记录当前子矩阵的大小。然后令 l++，表示舍弃上一个子矩阵的第一列（或第一行），并更新 cur 为当前子矩阵的大小。
3. 重复步骤 2 直到矩阵的所有列（或行）都已经被遍历过，此时记录最大子矩阵的大小。
4. 如果当前的 maxS 可行，则我们可以缩小范围，使得大小差异更小。具体来说，我们可以尝试将 maxS 设为上一次计算的子矩阵大小，即大小为 maxSize。
5. 如果当前的 maxS 不可行，则我们需要扩大范围，使得大小差异更小。这个过程可以通过修改 left 和 right 范围来实现。

最后，当 maxS 范围已经逼近到可行的精度时，我们可以得到一个最小的 minS 来满足题目要求。

代码实现

下面是基于上述算法思路的 Python 代码实现，其中二分查找部分使用了库函数 bisect_left 和 bisect_right。

from typing import List
import bisect


class Solution:
    def maxMin_Diff(self, matrix: List[List[int]], K: int) -> int:
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        sum_r, sum_c = [0] * m, [0] * n
        
        # 累加每一行和每一列的数字
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                sum_r[i] += matrix[i][j]
                sum_c[j] += matrix[i][j]
        
        # 对数字排序并取出前 K-1 个数字作为边界
        sum_r.sort()
        sum_c.sort()
        left, right = 0, m * n
        while left < right:
            maxSize = (left + right) // 2
            count = 0
            for i in range(m):
                l = bisect.bisect_left(sum_r, count)
                r = bisect.bisect_right(sum_r, maxSize + count)
                count = sum_r[l:r][::-1][0]
            if r - l < K:
                right = maxSize
            else:
                count = 0
                for i in range(n):
                    l = bisect.bisect_left(sum_c, count)
                    r = bisect.bisect_right(sum_c, maxSize + count)
                    count = sum_c[l:r][::-1][0]
                if r - l >= K:
                    left = maxSize
                else:
                    right = maxSize
        
        # 计算最小差异
        minSize = float('inf')
        i, j, count = 0, 0, 0
        while i < m:
            while j < n and count + sum_c[j] <= left:
                count += sum_c[j]
                j += 1
            minSize = min(minSize, max(sum_r[i], count))
            count -= sum_c[j-1]
            i += 1
        
        return left - minSize

总结

这个问题可以看作是二分查找和贪心策略的结合，通过逼近子矩阵的大小来求解最小差异。在编码过程中，需要注意双指针的使用和代码的可读性和可维护性。