将矩阵划分为K组相邻单元，最大和最小尺寸组之间的差异最小

介绍

本题的目标是将一个大小为m x n的矩阵划分为k组相邻单元，使得最大和最小尺寸组之间的差异最小。本题的解决方案是使用动态规划算法。

算法

状态

我们定义一个状态$f(i, j, p, q)$，表示将“i行到j行、p列到q列”这个矩阵划分为k组时，最大的尺寸组的大小和最小的尺寸组的大小之差的最小值。

转移方程

对于一个划分，我们可以将其分为两个子划分。例如对于f(i, j, p, q)，我们可以分为f(i, mid, p, q)和f(mid+1, j, p, q)。这个分割是在行方向进行的。

同理，我们也可以在列方向上将一个划分分为两个子划分。例如对于f(i, j, p, q)，我们可以分为f(i, j, p, mid)和f(i, j, mid+1, q)。

其中，mid是(i+j)/2或者(p+q)/2，取整方式可以灵活调整。

因此，我们得到了如下的转移方程：

$f(i,j,p,q)=\min\limits_{t=1}^{k-1}\left{f(i, i+u\cdot s_{t}, p, q) + f(i+1+u\cdot s_{t}, j, p, q) \right}$

$f(i,j,p,q)=\min\limits_{t=1}^{k-1}\left{f(i,j,p,p+v\cdot s_{t}) + f(i,j,p+v\cdot s_{t}+1,q)\right}$

其中，$s_{t}$表示第$t$个划分的大小，$u$和$v$分别是参数可以根据需要进行调整。

初始化

当$k=1$时，$f(i,j,p,q)$的值等于从$(i,j)$到$(p,q)$的所有单元的和。

最终结果

最终结果是$f(1,m,1,n)$。

代码

下面是使用Python编写的代码：

def minMaxDiff(matrix, k):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    s = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]
    f = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(i, m + 1):
            for p in range(1, n + 1):
                for q in range(p, n + 1):
                    if k == 1:
                        f[i][q] = min(f[i][q], s[j][q] - s[i - 1][q] - s[j][p - 1] + s[i - 1][p - 1])
                        continue
                    for t in range(1, k):
                        u, v = t - 1, k - t - 1
                        if u + 1 > j - i or v + 1 > q - p:
                            continue
                        f[i][q] = min(f[i][q], f[i][i + u * s[t]][p][q] + f[i + 1 + u * s[t]][j][p][q],
                                      f[i][j][p][p + v * s[t]] + f[i][j][p + v * s[t] + 1][q])
    return f[1][n]

参考资料

1. 力扣题目解析