位于正方形内的积分坐标计数

如果你需要计算某个函数在正方形内的积分，可以通过统计正方形内部的点来近似计算。在统计正方形内部的点时，常常需要判断一个点是否在正方形内部。本文将介绍如何通过坐标计数的方式来判断点是否在正方形内部，以及如何利用这个方法来计算正方形内的积分。

计算方法

在一个 $n \times n$ 的正方形中，假设我们选取一个点 $(x_0, y_0)$，则该点有四个方向可以移动，包括向上、向下、向左、向右。我们以向右移动为例，假设我们从点 $(x_0, y_0)$ 向右移动了 $m$ 个单位，得到了一个新的点 $(x_0 + m, y_0)$。此时，如果新的点仍然在正方形内部，那么向右移动就是有效的。我们可以将此过程重复，直到新的点 $(x_0 + m, y_0)$ 不再在正方形内部为止。同理，我们也可以向上、向下、向左移动。

通过以上方法，我们可以得到一个从点 $(x_0, y_0)$ 出发，向右、向上、向下、向左移动所得到的点。我们可以将这些点的坐标都表示成整数，例如 $(x_0, y_0), (x_0 + 1, y_0), (x_0 + 2, y_0), \cdots$ 就是向右移动所得到的点。然后，我们可以通过以下方式判断一个点 $(x, y)$ 是否在正方形内部：

将正方形沿对角线分成两个三角形，分别为左下角和右上角的三角形。对于左下角的三角形，它的顶点是 $(0,0)$、$(0,n)$ 和 $(n,0)$，对于右上角的三角形，它的顶点是 $(n,n)$、$(0,n)$ 和 $(n,0)$。我们可以计算出一个点 $(x,y)$ 分别落入两个三角形内所对应的计数值 $A$ 和 $B$，如果 $A+B$ 等于 $1$，则该点 $(x,y)$ 位于正方形内部，否则不在正方形内部。计数方法如下：

对于左下角的三角形，如果点 $(x,y)$ 落入该三角形内，它的坐标 $(x,y)$ 满足以下条件：

$$0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n - x$$

对于右上角的三角形，如果点 $(x,y)$ 落入该三角形内，它的坐标 $(x,y)$ 满足以下条件：

$$0 \leq x \leq n - y, 0 \leq y \leq n$$

因此，我们可以通过如下代码片段来判断一个点 $(x,y)$ 是否在正方形内部：

def check_in_square(x: int, y: int, n: int) -> bool:
    if not (0 <= x <= n and 0 <= y <= n):
        return False  # 点(x,y)在正方形外部
    if x + y <= n:  # 左下角三角形
        return True
    elif x + y >= n + 2:  # 右上角三角形
        return False
    else:  # 边界情况
        if x <= y:
            return True  # 左边界
        else:
            return False  # 下边界

我们可以将该函数用于计算正方形内的点的个数，从而得到正方形内的积分值。具体来说，我们可以将正方形分成 $n^2$ 个小正方形，然后遍历每个小正方形，计算该小正方形内的点的个数。对于每个小正方形，我们可以选取其中一个顶点作为起点，利用上述方法向右、向上、向下、向左移动，以计算该小正方形内的点的个数。通过统计所有小正方形内的点的个数，就可以得到正方形内的积分值。

以下是用 Python 实现的代码片段：

def count_square_points(n: int):
    """
    统计一个 n*n 的正方形内的点的个数
    """
    count = 0
    for x in range(n):
        for y in range(n):
            if check_in_square(x, y, n):
                # 如果点(x,y)在正方形内部，则计数器加1
                count += 1
    return count

def integrate_in_square(n: int, func):
    """
    计算函数在 n*n 的正方形内的积分（近似值）
    """
    square_size = n * n
    result = 0
    for x in range(n):
        for y in range(n):
            if check_in_square(x, y, n):
                # 如果点(x,y)在正方形内部，则计算该点的函数值
                result += func(x, y) / square_size
    return result

# 示例使用
n = 1000
print("点的个数：", count_square_points(n))
print("积分值：", integrate_in_square(n, lambda x, y: x + y))

结语

本文介绍了一种利用坐标计数的方法来判断一个点是否在正方形内部，以及利用该方法计算正方形内的积分值的方法。该方法虽然不是很精确，但是可以作为一种简单的近似计算方法。诸如 Monte Carlo 模拟等经典方法也是以类似的思路进行的，可以作为后续学习的研究方向。