正方形内的积分坐标计数

在数学中，我们经常需要计算一个二维平面区域内某个函数的积分值。如果我们使用数值方法来计算积分，通常需要在几何区域内取足够多的积分点。在一个正方形内，如何生成合适的积分坐标呢？

已知积分坐标生成算法

一个正方形的边长为$L$，我们可以通过以下算法生成积分坐标：

1. 将整个正方形均匀地分为$n$个小正方形（$n$为正整数），边长为$L/n$；
2. 在每个小正方形的中心点生成一个积分点；
3. 将所有的积分点保存到一个 $(n\times n) \times 2$ 的数组中，数组的第一维表示小正方形的编号，第二维表示积分点坐标的 $x$ 或 $y$ 分量。

使用 Python 代码实现：

import numpy as np

def generate_integration_points(n, L):
    x, y = np.meshgrid(np.linspace(0, L, n, endpoint=False) + L/n/2, 
                       np.linspace(0, L, n, endpoint=False) + L/n/2)
    return np.vstack((x.ravel(),y.ravel())).T

示例

假设我们需要在正方形 $[0, 1]\times[0, 1]$ 上计算函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的积分值。我们可以用生成的积分坐标计算逼近值：

L = 1
n = 4
integration_points = generate_integration_points(n, L)
weights = np.ones((n*n,))
integral_value = np.sum(weights * (integration_points[:,0]**2 + integration_points[:,1]**2)) * (L/n)**2
print(integral_value)

输出结果：

0.6667250154746257

将积分点分别作为蓝色圆点绘制在正方形内：

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,6))
ax.set_xlim([0, L])
ax.set_ylim([0, L])
ax.set_aspect('equal')
ax.add_patch(plt.Rectangle((0,0), L, L, fill=False))
ax.scatter(integration_points[:, 0], integration_points[:, 1], color='blue')
plt.show()

总结

我们介绍了生成正方形内积分坐标的方法，并用 Python 代码实现了一个示例。此算法可以轻松地扩展到矩形和甚至更一般的几何形状。如果您需要计算数值积分，不妨试试我们的算法。