计算定积分

积分是微积分中非常重要的一部分。它们允许我们计算反导数，即给定函数的导数，积分将函数作为输出。积分的其他重要应用包括计算曲线下面积、曲面包围的体积等。虽然以前的应用主要涉及不定积分，但后一种应用需要明确定义边界，并且积分是在它们之间计算的仅限边界。这种积分称为定积分。

定积分

定积分主要用于计算曲线所包围的面积和体积。通常，面积是使用矩形、圆形和正方形等定义明确的公式计算的。在现实生活中，形状并不是那么简单，因此为了计算任意形状的面积，我们使用定积分。对于在区间 [a, b] 上定义的函数f(x)，这些限制之间的定积分由下式给出，

$\int^{b}_af(x)dx$

这里a称为函数的下限， b称为函数的上限。

Given a function f(x) that is continuous on the interval [a, b] we divide the interval into n subintervals of equal width, $\Delta x$ and from each interval choose a point $x^{*}_{i}$. Then the definite integral of f(x) from a to b is, 

$\int^{b}_{a}f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\sum^{n}_{i = 1}f(x_{i}^{*})\Delta x$

上图解释了极限定义，随着我们增加曲线下矩形的数量，近似面积变得越来越接近图下的实际面积。

微积分基本定理

由纵坐标 x = a 和 x = b 和 x 轴之间的曲线 f(x) 界定的区域面积由下式给出$\int^{b}_{a}f(x)dx$ .假设 x 是限制之间的任何点，那么$\int^{x}_{a}f(x)dx$表示从 a 到 x 的区域的面积。换句话说，这个阴影区域从“a”到值 x 的面积称为面积函数。它是由，

$A = \int^{x}_{a}f(x)dx$

基于这个定义，定义了两个微积分基本定理。

微积分第一基本定理

Let f(x) be a continuous function on the closed interval [a, b] and let A(x) be the area function. 

Then, A'(x) = f(x), for all x ∈ [a, b]. 

微积分第二基本定理

Let f(x) be a continuous function on the closed interval [a, b] and let F(x) be the anti-derivatives of the function f(x). Then, 

$\int^{b}_{a}f(x)dx = [F(x)]^{b}_{a} = F(b) - F(a)$

曲线下面积

曲线下的面积由定积分给出。我们知道面积总是一个正数，但是在使用定积分时，有时得出的面积是负数。例如，考虑下面的两个函数，一个完全位于 x 轴上方，另一个具有位于 x 轴下方的部分。在这种情况下，这两个区域可能会相互抵消。

在这种情况下，面积由下式给出，

$A = \int^{b}_{a}f(x)dx$

对于这种情况，必须分别计算负面积和正面积，并且只需将它们的面积的大小相加。

$A = \int^{c}_{a}f(x)dx + \int^{b}_{c}f(x)dx$

有理函数的定积分

为了计算这些函数的定积分，这些函数使用代数操作分解。

问题：计算以下积分的值

$\int^{3}_{1}\frac{1 - x}{x^2}dx$

解决方案：

$\int^{3}_{1}\frac{1 - x}{x^2}dx \\ = \int^{3}_{1}( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x})dx \\ = \int^{3}_{1}( \frac{1}{x^2} )dx- \int^{3}_{1}(\frac{1}{x})dx \\ = [\frac{-1}{x}]^3_1 - [log(x)]^{3}_{1} \\ = 1 - \frac{1}{3} - (log(3) - log(1)) \\ = \frac{2}{3} - log(3)$

根函数的定积分

为了计算这些函数的定积分，我们使用逆幂法则。

问题：计算以下积分的值

$\int^{1}_{0}x^{\frac{1}{3}}dx$

解决方案：

$\int^{1}_{0}x^{\frac{1}{3}}dx$

Using the reversed power rule, 

$\int^{1}_{0}x^{\frac{1}{3}}dx \\ = [\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{3}{4}}]^{1}_{0} \\ = \frac{4}{3}$

三角函数的定积分

为了计算这些函数的定积分，我们使用逆幂法则。

问题：计算以下积分的值

$\int^{1}_{0}sin(x)dx$

解决方案：

$\int^{1}_{0}sin(x)dx \\ = [-cos(x)]^{1}_{0} \\ = 1 - cos(1)$

自然对数函数的定积分

为了计算这些函数的定积分，我们使用以下恒等式。

$\int ln(x)dx = xln(x) - x + C$

问题：计算以下积分的值

$\int^{2}_{1}(ln(x) + 1)dx$

解决方案：

$\int^{2}_{1}(ln(x) + 1)dx \\ = \int^{2}_{1} ln(x)dx + \int^{2}_{1} 1dx$

Using the formula mentioned above, 

$\int^{2}_{1} ln(x)dx + \int^{2}_{1} 1dx \\ = [xln(x) - x]^2_1 + [x]^2_1 \\ = ((2ln(2) - 2) - (1ln(1) - 1)) + (2 - 1) \\ = (2ln(2) - 1) + 1\\ = 2ln(2)$

让我们看一些示例问题

示例问题

问题1：计算以下积分的值

$\int^{3}_{1}(x^2 + x)dx$

解决方案：

$\int^{3}_{1}(x^2 + x)dx \\ = \int^{3}_{1}x^2dx + \int^{3}_{1}xdx \\ = [\frac{x^3}{3}]^3_1 + [\frac{x^2}{2}]^3_1 \\ = 9 - \frac{1}{3} + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \\ = 12 - \frac{1}{3} \\ = \frac{35}{3}$

问题2：计算以下积分的值

$\int^{1}_{0}\frac{(x^2 + x)}{x}dx$

解决方案：

$\int^{1}_{0}\frac{(x^2 + x)}{x}dx \\ = \int^{1}_{0}xdx + \int^{1}_{0}1dx \\ = [\frac{x^2}{2}]^1_0 + [x]^{1}_{0} \\ = \frac{1}{2} + 1 \\ = \frac{3}{2}$

问题3：计算以下积分的值

$\int^{1}_{0}(\sqrt{x} + x)dx$

解决方案：

$\int^{1}_{0}(\sqrt{x} + x)dx$

Using the reversed power rule

$\int^{1}_{0}(\sqrt{x} + x)dx \\ =[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + x^2]^1_0 \\ = [\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^2]^1_0 \\ = \frac{2}{3} + 1 \\ = \frac{5}{3}$

问题4：计算以下积分的值

$\int^{1}_{0}sin(x) + cos(x)dx$

解决方案：

$\int^{1}_{0}sin(x) + cos(x)dx \\ = [-cos(x) + sin(x)]^1_0 \\ = [-cos(1) + sin(1)] - [1] \\ = sin(1) - cos(1) - 1$

问题5：计算以下积分的值

$\int^{2}_{1}(ln(x) + e^x)dx$

解决方案：

$\int^{2}_{1}(ln(x) + e^x)dx \\ = \int^{2}_{1} ln(x)dx + \int^{2}_{1} e^xdx$

Using the formula mentioned above, 

$\int^{2}_{1} ln(x)dx + \int^{2}_{1} e^xdx \\ = [xln(x) - x]^2_1 + [e^x]^2_1 \\ = ((2ln(2) - 2) - (1ln(1) - 1)) + (e^2 - e) \\ = (2ln(2) - 1) + e^2 - e\\ = 2ln(2) + e^2 -e -1$