定积分介绍

定积分是高等数学中的重要概念，是一个自变量在一定区间上的函数值与常数的乘积的和，反映了函数在该区间上的累积效应。

定义

设 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的一个函数，将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$，在每个小区间内取一点 $x_i$，则定积分的近似值为

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$

当 $n$ 越来越大时，上式的近似值越来越接近真实值，即

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$$

其中 $\int_a^bf(x)dx$ 表示 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分。

性质

定积分具有下列性质：

1. 可加性：$\int_a^b[f(x)+g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$
2. 常数乘积：$\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx$
3. 区间可加性：若 $a<c<b$，则 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$
4. 积分保号性：若 $f(x)\geq0$，则 $\int_a^bf(x)dx\geq0$
5. 中值定理：存在 $c\in[a,b]$，使得 $\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$

应用

定积分在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用，如用定积分求解物体的质量、密度、体积等；在工程中计算能量、功率等；在经济领域中计算收益、成本等。

代码实现

在 Python 中，可以使用 SciPy 库的 integrate 子模块来计算函数的定积分值。例如，计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的定积分：

from scipy import integrate

def f(x):
    return x**2

integrate.quad(f, 0, 1)

函数 quad 的第一个参数为被积函数，第二个和第三个参数分别为上下限。