计算三角形内的积分点

在数值积分中，计算三角形内的积分点是一个常见的问题。本文将介绍一个使用 barycentric coordinates 算法来计算三角形内积分点的方法。

什么是 barycentric coordinates？

barycentric coordinates 是用于描述三角形内的点在三角形顶点上的一种坐标系统。barycentric coordinates 使用三个参数 $(u, v, w)$ 来表示一个点 $P$ 在三角形 $ABC$ 内的位置。这三个参数的和为 1，即 $u+v+w=1$。

如何计算 barycentric coordinates？

对于一个三角形 $ABC$ 和一个点 $P$，$P$ 的 barycentric coordinates 可以通过以下公式计算得到：

$$\begin{aligned} u &= \frac{(P-B) \times (C-B)}{(A-B) \times (C-B)} \ v &= \frac{(P-C) \times (A-C)}{(B-C) \times (A-C)} \ w &= 1-u-v \ \end{aligned}$$

其中 $\times$ 表示向量叉积。

如何计算三角形内的积分点？

有了 barycentric coordinates，我们可以很容易地计算任意一个三角形内的积分点。对于一个三角形 $ABC$，我们可以将其等分成多个小三角形，然后计算每个小三角形的重心，最后将所有重心加权平均即可得到三角形的积分点。

以下是 Python 代码实现：

import numpy as np

def barycentric_coords(triangle, point):
    A, B, C = triangle
    v0, v1, v2 = B - A, C - A, point - A
    d00 = np.dot(v0, v0)
    d01 = np.dot(v0, v1)
    d11 = np.dot(v1, v1)
    d20 = np.dot(v2, v0)
    d21 = np.dot(v2, v1)
    denom = d00 * d11 - d01 * d01
    v = (d11 * d20 - d01 * d21) / denom
    w = (d00 * d21 - d01 * d20) / denom
    u = 1.0 - v - w
    return u, v, w

def midpoint(triangle):
    A, B, C = triangle
    x = (A[0] + B[0] + C[0]) / 3.0
    y = (A[1] + B[1] + C[1]) / 3.0
    return np.array([x, y])

def integrate_triangle(triangle, f):
    x = midpoint(triangle)
    u, v, w = barycentric_coords(triangle, x)
    return f(u, v, w) * np.linalg.norm(np.cross(triangle[1] - triangle[0], triangle[2] - triangle[0])) / 2.0

def integrate(triangles, f):
    total_area = sum(np.linalg.norm(np.cross(t[1] - t[0], t[2] - t[0])) / 2.0 for t in triangles)
    return sum(integrate_triangle(t, f) * np.linalg.norm(np.cross(t[1] - t[0], t[2] - t[0])) / 2.0 / total_area for t in triangles)

triangles = [[np.array([0, 0]), np.array([1, 0]), np.array([0, 1])]]
f = lambda u, v, w: u + v + w
result = integrate(triangles, f)
print(result)

这段代码计算了一个由三个顶点 $(0,0)$，$(1,0)$ 和 $(0,1)$ 组成的三角形内的积分点，积分函数是 $f(u,v,w)=u+v+w$。程序输出的结果是这个三角形内 $f(u,v,w)$ 的积分值。

注意，上面的代码中我们计算了每个小三角形的重心作为该小三角形的积分点。如果需要更准确的积分点，可以计算小三角形的质心或几何中心。