在给定的正方形中找到恰好位于 K 内的点

问题描述

给定正方形 $S$ 和一个整数 $K$，任务是找到所有位于正方形边界和内部，但是距离正方形边界的最近距离小于 $K$ 的点。正方形可以用一个左上角坐标 $(x_1, y_1)$ 和一个右下角坐标 $(x_2, y_2)$ 来描述。

解决方案

首先，我们需要确定正方形的四条边的方程。

设正方形左上角的坐标为 $(x_1, y_1)$，右下角的坐标为 $(x_2, y_2)$。

• 上边：$y = y_1$
• 下边：$y = y_2$
• 左边：$x = x_1$
• 右边：$x = x_2$

接着，我们可以遍历整个正方形内部，将每一个点与四条边的距离计算出来，判断是否小于 $K$。具体算法如下：

1. 初始化一个空列表 $res$ 用于保存满足条件的点的坐标
2. 嵌套循环遍历正方形内部的每一个点 $(x,y)$：
   • 对于每一个点，分别计算其到四条边的距离 $d$，并找到其中最小的那一个，即 $d = \min(d_1, d_2, d_3, d_4)$，其中
     • $d_1$ = $y - y_1$ （上边）
     • $d_2$ = $y_2 - y$ （下边）
     • $d_3$ = $x - x_1$ （左边）
     • $d_4$ = $x_2 - x$ （右边）
   • 判断 $d < K$ 是否成立，如果成立则将此点的坐标 $(x, y)$ 加入 $res$ 列表中
3. 返回 $res$ 列表

效率分析

时间复杂度为 $O((x_2 - x_1)(y_2 - y_1))$，即正方形内部的格子数。

空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为满足条件的点的数量，即 $res$ 列表的长度。

代码实现

def find_points(x1, y1, x2, y2, k):
    res = []
    for x in range(x1+1, x2):
        for y in range(y1+1, y2):
            d = min(y - y1, y2 - y, x - x1, x2 - x)
            if d < k:
                res.append((x, y))
    return res

# 示例
print(find_points(0, 0, 5, 5, 2))  # [(2, 1), (1, 2), (4, 3), (3, 4)]