一个数恰好具有x个因子的质数的最大数量

要求：编写一个函数，输入一个正整数x，返回一个最大的质数数量，使得该数量所得到的所有质数的乘积的因子个数就是x。如果不存在这样的质数数量，则返回0。

思路

对于任意一个正整数N，它可以表示为质因数的乘积，即N=p1^a1 * p2^a2 * ...*pk^ak（p1,p2,...,pk为不同的质数，a1,a2,...,ak为自然数），则它的因子个数是(a1+1) * (a2+1) * ... * (ak+1)。如果我们已知一个质数数量m，使得它们的乘积得到的数N的因子个数为x，则只需要将这m个质数的指数，也就是其中的a1,a2,...,am进行调整，使得它们的乘积的因子个数仍然为x，同时保证它们的乘积最大。这个过程可以用贪心法来实现，即我们优先调整指数较小的质数，因为增加指数对应的因子个数相对较大，而质数增加1对应的因子个数是加倍关系。

因此，我们可以采用二分的方式来找到最大的合法质数数量m。具体地，我们考虑枚举m的上界，将[1, N]范围内的质数按照大小排序，然后从大到小依次选择前m个质数，调整它们的指数，计算乘积的因子个数，如果满足题目要求，则更新最大质数数量m的值，继续往左二分；如果不满足，则往右二分。因为质数数量越多，它们的乘积一定越小，因此这个二分的上界是N内的质数数量。

代码实现

以下是本题的Python实现代码：

import math

def count_factors(n: int) -> int:
    factors = 1
    for p in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % p == 0:
            cnt = 0
            while n % p == 0:
                n //= p
                cnt += 1
            factors *= cnt + 1
    if n > 1:
        factors *= 2
    return factors

def max_primes(x: int) -> int:
    primes = []
    n = 2
    while len(primes) < x:
        is_prime = True
        for p in primes:
            if p * p > n:
                break
            if n % p == 0:
                is_prime = False
                break
        if is_prime:
            primes.append(n)
        n += 1

    lo, hi = 0, len(primes)
    while lo < hi:
        mid = (lo + hi + 1) // 2
        prod = 1
        for i in range(mid):
            prod *= primes[i]
        if count_factors(prod) >= x:
            lo = mid
        else:
            hi = mid - 1

    return lo if count_factors(prod) == x else 0

时间复杂度

本题的时间复杂度为O(NlogNlogN)，其中N为给定正整数。其原因是：

• 第一步找出[1, N]范围内的所有质数，需要使用朴素的线性筛法，时间复杂度为O(NlogN)；
• 第二步是二分答案，每次需要计算乘积的因子个数，时间复杂度为O(logNlogN)。由于每次二分答案都能去掉一半的解，因此总共需要二分O(logN)次。

参考文献

• Codeforces 43C - Factorization