找到具有恰好为K的素数的子数组的数量

介绍

给定一个含有 n 个正整数的数组，求长度恰好为 K 的子数组中含有素数的数量。

解决方法

暴力枚举

首先，最朴素的方法就是枚举所有长度为 K 的子数组并检查其中是否有素数。 如果是素数，则计数器加1。

时间复杂度为 O(n * K)，其中 n 是数组的长度。然而，当 K 很大时，这将变得不太可行。

前缀和

一个更优秀的方法是使用前缀和。 计算数组每个位置上的素数数量后，我们维护一个记录前K个数素数数量的前缀和数列。

具体看下面的程序示例（使用 Python 实现）：

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num**0.5)+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def count_primes(nums):
    n = len(nums)
    primes = [0] * n
    if is_prime(nums[0]):
        primes[0] = 1
    for i in range(1, n):
        primes[i] = primes[i-1] + (1 if is_prime(nums[i]) else 0)
    
    k_primes = [0] * n
    for i in range(k-1, n):
        if primes[i] - primes[i-k] == 1:
            k_primes[i] = 1
    
    return sum(k_primes)

我们首先定义一个用于检测素数的函数 is_prime。 然后计算一个列表 primes，其中第 i 个元素表示 nums 的第 i 个元素之前的素数数量。 循环数组 nums，检查前 K 个数的素数数量是否为 K-1。 如果其中有一个是这样的，则数组 k_primes 中相应的值为 1。

最后，我们返回 k_primes 中值为 1 的元素的数量。

这个解决方案的时间复杂度为 O(n * sqrt(max(nums)))，因为 is_prime 函数的时间复杂度是 O(sqrt(n))，而最极端情况下 max(nums) 可以达到 n^2。 然而，在实践中，我们可以使用一个更有效的算法来检查素数。

筛法

另一个更有效的方法是使用埃氏筛法，在 O(n * log(log(n))) 的时间内生成全局素数表。 然后，对于每个查询，我们可以在 O(1) 时间内检查单个整数是否为素数。

使用该算法，我们可以首先预处理出一个素数表，然后在 O(n) 的时间内计算出素数数量，因此总时间复杂度仅为 O(n)。

下面是实现一个埃氏筛法的 Python 代码片段（仅生成全局素数表，不计入计数函数中）：

def sieve_of_eratosthenes(n):
    primes = [True] * (n+1)
    primes[0] = False
    primes[1] = False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if primes[i]:
            for j in range(i*i, n+1, i):
                primes[j] = False
    return primes

总结

我们介绍了多个解决方法来找到具有长度为 K 的素数的子数组的数量。 使用前缀和方法是非常有效的，但当我们有一个预处理的全局素数表时，可以使用更快的方法。