给定数组中素数位置的0和1的数量

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $arr$ ，其中 $arr_i$ 表示第 $i$ 个数。若 $i$ 为质数的位置，我们将 $arr_i$ 的值视为 $1$，否则视为 $0$。现在需要你计算在这个数组中，所有 $1$ 和 $0$ 的数量分别是多少。

解决思路

要解决这个问题，我们需要先将数组中所有的质数位置筛选出来。为了提高效率，我们可以使用筛法求解。简单来说，就是将数组中所有的合数位置打上标记，最终留下的就是素数位置。具体实现可以使用埃氏筛法或欧拉筛法。

得到素数位置之后，我们只需要遍历这些位置，分别统计 $1$ 和 $0$ 的数量即可。

代码实现

下面是一种使用欧拉筛法实现的算法：

import math

def count_zeros_ones(arr):
    n = len(arr)
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False

    ones, zeros = 0, 0
    for i in range(2, n):
        if is_prime[i]:
            if arr[i] == 1:
                ones += 1
            else:
                zeros += 1

    return zeros, ones

时间复杂度

筛法求质数的时间复杂度为 $O(n \log\log n)$（欧拉筛法），统计 $1$ 和 $0$ 的数量需要遍历素数位置，时间复杂度为 $O(\pi(n))$。因此总时间复杂度为 $O(n \log\log n + \pi(n))$，其中 $\pi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的素数个数。由于 $\pi(n)$ 一般比较小，因此该算法的时间复杂度很优秀。

总结

本文介绍了如何统计给定数组中素数位置的 $1$ 和 $0$ 的数量。通过使用筛法求解质数位置，再遍历质数位置进行统计，可以得到解决该问题的算法，并证明其时间复杂度比较优秀。如果读者对该问题感兴趣，可以进一步了解筛法求解质数位置的具体实现方法。