一个数恰好具有x个因子的质数的最大数量

在数学中，我们知道每一个正整数都可以拆分为若干个质因数的积，而一个正整数的因数数量可以用它的质因数分解式中每个质因数的指数加一后的乘积表示。

例如，若 $n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$，则 $n$ 具有 $(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)$ 个因子。

现在，我们来考虑一个问题：对于给定的整数 $x$，如果限定因子数量为 $x$，那么具有 $x$ 个因子的最大质数是多少？

为了解决这个问题，我们需要了解以下两个数学定理：

1. 第 $n$ 个质数 $p_n$ 的大小约为 $n \ln n$；
2. 如果 $n$ 非常大，且 $n$ 有 $x$ 个互不相同的质因数，那么 $n$ 至少大于等于 $p_1^{x}$。

基于以上定理，我们可以得到一种可行的求解方法：

1. 构造一个序列 $p_1, p_2, p_3, ...$，使得 $p_n$ 表示第 $n$ 个质数；
2. 枚举可能的质因数个数 $x$，计算得到 $p_1^x$；
3. 若 $p_1^x$ 大于 $n$，则停止枚举，输出 $p_{x-1}$；否则，继续增加 $x$ 直至 $p_1^x$ 大于 $n$，然后输出 $p_{x-1}$。

下面是一份Python实现代码：

def get_max_prime_with_x_factors(x):
    # 构造质数序列
    primes = [2]
    n = 3
    while True:
        if len(primes) >= x:
            break
        is_prime = True
        for p in primes:
            if p * p > n:
                break
            if n % p == 0:
                is_prime = False
                break
        if is_prime:
            primes.append(n)
        n += 2

    # 枚举可能的质因数个数
    n = 1
    while True:
        n *= primes[0]
        if n > (primes[-1] ** 2):
            break
        if len(get_prime_factors(n)) == x:
            continue
        else:
            return primes[len(get_prime_factors(n))-1]
    return primes[x-1]

def get_prime_factors(n):
    factors = []
    i = 2
    while i <= n:
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            n /= i
        else:
            i += 1
    return factors

其中，get_max_prime_with_x_factors(x) 函数接受一个参数 x，返回具有 $x$ 个因子的最大质数。在函数中，我们首先构造了一个质数序列，然后枚举可能的质因数个数，通过调用 get_prime_factors(n) 函数，判断当前数 $n$ 是否具有 $x$ 个因子。如果具有 $x$ 个因子，则继续枚举下一个数；否则，输出当前数的因子数量并停止枚举。

最后，我们使用一个简单的例子来验证一下代码的正确性：对于 $x=4$，由于 $p_1^4=16$ 大于 $2^2 \times 3^2=36$，因此输出 $p_3=5$。