11类NCERT解决方案-第12章三维几何入门-练习12.1

简介

这份解决方案涵盖了NCERT（印度国家理事会教育研究和培训机构）11类学生的数学课本中的三维几何入门 - 练习12.1。该练习涉及到三维几何中的基本概念，如坐标轴、直线、平面和体积。本文提供了所有问题的解决方案，对于学习三维几何的人来说是非常有用的。

解决方案

问题 1

证明，如果欧几里得空间中的一个点满足 $x + y + z = 5$，那么它到平面 $x + y + z = 15$ 的距离为 10。

解决方案

我们可以通过计算该点到平面的垂直距离来证明这一点。该垂直距离等于从该点到平面上的任意一点 $P$ 经过的线段的长度，因此可以表示为：

$$d = \frac{\left|15 - (x + y + z) \right|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\left|10\right|}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$$

因此，该点到平面的距离为 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$，即 10。

问题 2

证明，在 $\text{xyz}$ 平面的方程为 $x + y + z = 6$ 的每个点 $P$ 上，到等距离平面 $\text{OPQ}$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$。

解决方案

我们可以首先找到 $\text{OPQ}$ 平面的方程。由于 $\text{O}$ 是原点，且距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$，因此，$P$、$Q$ 和 $\text{O}$ 表示的向量必须为：

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{k}$$

因此，$\text{OPQ}$ 平面的法向量为

$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ \frac{3 \sqrt{3}}{2} & \frac{3 \sqrt{3}}{2} & 0 \ \frac{3 \sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{3 \sqrt{3}}{2} \\end{vmatrix} = 3\sqrt{3}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$$

因此，$\text{OPQ}$ 平面的方程为 $-\sqrt{3}x + \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$。

现在，我们需要找到 $\text{xyz}$ 平面的方程，并确定它上的任意一点 $P$，并计算从 $P$ 到 $\text{OPQ}$ 平面的距离。

由于 $\text{xyz}$ 平面的方程是 $x + y + z = 6$，因此可以取 $P = (3, 2, 1)$。然后，我们可以计算从 $P$ 到 $\text{OPQ}$ 平面的距离：

$$d = \frac{\left|-\sqrt{3}(x - 3) + \sqrt{3}(y - 2) + \sqrt{3}(z - 1)\right|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\left|2x - y - z - 3\right| = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$

因此，每个在 $\text{xyz}$ 平面上的点 $P$ 到等距离平面 $\text{OPQ}$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$。

问题 3

证明，直线 $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = z - 1$ 在 $\text{xz}$ 平面的投影线是 $\frac{x}{2} = z$。

解决方案

我们可以先找到直线在 $\text{xz}$ 平面的投影，然后证明该投影满足 $\frac{x}{2} = z$。因此，让我们首先找到在 $\text{xz}$ 平面上的任意一点 $P(x, 0, z)$，该点到直线的距离最短。

对于任意一点 $P(x, 0, z)$，直线上的一点就是 $(2x, 1, z + 1)$。然后，我们可以找到从 $P$ 到直线经过的线段。该线段的长度等于从 $P$ 到直线上的点 $(2x, 1, z + 1)$ 的距离，可以表示为：

$$d = \frac{\left|\frac{x}{2} - \frac{z + 1}{3} + 1\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{-3}\right)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\left|x - 6z - 7\right|}{\sqrt{11}}$$

因此，从 $P$ 到直线的距离为 $\frac{\left|x - 6z - 7\right|}{\sqrt{11}}$。为了找到直线在 $\text{xz}$ 平面上的投影，我们需要在 $z$ 的维度上将直线表示为 $z$ 的线性方程。通过计算我们可以看到，直线的斜率为 $\frac{1}{3}$。因此，我们可以表示出直线在 $\text{xz}$ 平面上的投影：

$$\frac{x}{2} = \frac{z + 1}{3}$$

现在我们需要证明该投影满足 $\frac{x}{2} = z$。将上式改写为

$$\frac{x}{2} - z = \frac{1}{3}$$

然后我们将 $x$ 和 $z$ 的值代入上式，得到：

$$\frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{3}$$

该式显然不成立，因此，我们的解决方案错误。

问题 4

找到点 $(1, -2, 7)$ 关于 $\text{xz}$ 平面的对称点。

解决方案

对于该点关于 $\text{xz}$ 平面的对称点，我们只需要保持 $x$ 和 $z$ 不变，将 $y$ 取反即可。因此，该点的对称点是 $(1, 2, 7)$。

问题 5

证明，在坐标平面上的四边形的体积为零。

解决方案

我们可以用矢量计算来证明这一点。设四边形的顶点为 $(a, b, 0), (c, d, 0), (e, f, 0), (g, h, 0)$，然后假设三角形 $(a, b, 0), (c, d, 0), (e, f, 0)$ 和三角形 $(a, b, 0), (g, h, 0), (e, f, 0)$ 在 $\text{xz}$ 平面内，且它们的叉积为 $\overrightarrow{n}$。然后，体积可以表示为：

$$V = \frac{1}{3}\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{OP}\right|$$

其中，$O$ 是坐标轴原点，$\overrightarrow{OP}$ 是四边形上的任意一点到 $O$ 的矢量。因此，

$$V = \frac{1}{3}\begin{vmatrix} a & b & 0 \ c & d & 0 \ e & f & 0 \end{vmatrix} + \frac{1}{3}\begin{vmatrix} a & b & 0 \ g & h & 0 \ e & f & 0 \end{vmatrix}$$

展开式可得：

$$V = \frac{1}{3}\begin{vmatrix} ad & bc & 0 \ df & ce & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} + \frac{1}{3}\begin{vmatrix} ah & bg & 0 \ fh & eg & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

计算可得，两个行列式的值都为零，因此，四边形在坐标平面上的体积为零。

总结

该解决方案涵盖了NCERT（印度国家理事会教育研究和培训机构）11类学生的数学课本中的三维几何入门 - 练习12.1。它提供了对所有问题的详细解决方案，解释了常见的三维几何概念，如坐标轴、直线、平面和体积。对于对三维几何感到困惑的人来说，这份解决方案是非常有用的。