三角傅里叶级数(TFS)

$ \ sin n \ omega_0 t $和$ \ sin m \ omega_0 t $在区间$(t_0，t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0})$上正交。因此$ \ sin \ omega_0 t，\，\ sin 2 \ omega_0 t $形成一个正交集合。如果没有{$ \ cos n \ omega_0 t $}，则该集合是不完整的，因为该余弦集合也与正弦集合正交。因此，要完成此设置，我们必须同时包含余弦和正弦项。现在，完整的正交集包含所有余弦和正弦项，即{$ \ sin n \ omega_0 t，\，\ cos n \ omega_0 t $}，其中n = 0、1、2 …

$ \ there $$区间$(t_0，t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0})$中的任何函数x(t)都可以表示为

$$ x(t)= a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \cos⁡1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2⁡\ omega_0 t + … + a_n \cos⁡n \ omega_0 t + … $

$$ + b_0 \sin⁡0 \ omega_0 t + b_1 \sin⁡1 \ omega_0 t + … + b_n \sin⁡n \ omega_0 t + … $

$$ = a_0 + a_1 \cos⁡1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2⁡\ omega_0 t + … + a_n \cos⁡n \ omega_0 t + … $$

$$ + b_1 \sin⁡1 \ omega_0 t + … + b_n \sin⁡n \ omega_0 t + … $$

$$ \因此x(t)= a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}(a_n \cos⁡n \ omega_0 t + b_n \sin⁡n \ omega_0 t)\ quad(t_0

上式表示x(t)的三角傅立叶级数表示。

$$ \ text {其中} \，a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)·1 dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ over T}·\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)dt $$

$$ a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)·\cos⁡n\ omega_0 t \，dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \，dt} $$

$$ b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)·\ sin n \ omega_0 t \，dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \，dt} $$

$$ \ text {此处} \，\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \，dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \，dt = {T \超过2} $$

$$ \因此a_n = {2 \ T之上} \ \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)·\cos⁡n \ omega_0 t \，dt $$

$$ b_n = {2 \ over T}·\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x(t)·\ sin n \ omega_0 t \，dt $$

指数傅立叶级数(EFS)

考虑一组复杂的指数函数$ \ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \}(n = 0，\ pm1，\ pm2 …)$，它们在区间$(t_0，t_0 + T)$。其中$ T = {2 \ pi \ over \ omega_0} $。这是一个完整的集合，因此可以表示任何函数f(t)，如下所示

$ f(t)= F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + … + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + … $

$ \ quad \ quad \，\，F _ {-1} e ^ {-j \ omega_0 t} + F _ {-2} e ^ {-j 2 \ omega_0 t} + … + F _ {-n} e ^ {-jn \ omega_0 t} + … $

$$ \因此f(t)= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad(t_0

等式1表示在时间间隔(t ₀ ，t ₀ + T)上信号f(t)的指数傅里叶级数表示。傅立叶系数为

$$ F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)(e ^ {jn \ omega_0 t})^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t}(e ^ {jn \ omega_0 t})^ * dt} $$

$$ \ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {-jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \，\，= {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \，dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \因此F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

三角和指数傅立叶级数之间的关系

考虑一个周期信号x(t)，下面分别给出TFS和EFS表示

$ x(t)= a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}(a_n \cos⁡n \ omega_0 t + b_n \sin⁡n \ omega_0 t)… …(1)$

$ x(t)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} $

$ \ quad \，\，\ = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + … + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + … $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ {-1} e ^ {-j \ omega_0 t} + F _ {-2} e ^ {-j 2 \ omega_0 t} + … + F _ {-n} e ^ {-jn \ omega_0 t} + … $

$ = F_0 + F_1(\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t)+ F_2(cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t)+ … + F_n(\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t)+ … + F _ {-1}(\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t)+ F _ {-2}(\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t) + … + F _ {-n}(\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t)+ … $

$ = F_0 +(F_1 + F _ {-1})\ cos \ omega_0 t +(F_2 + F _ {-2})\ cos2 \ omega_0 t + … + j(F_1-F _ {-1})\ sin \ omega_0 t + j(F_2-F _ {-2})\ sin2 \ omega_0 t + … $

$ \因此x(t)= F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}((F_n + F _ {-n})\ cos n \ omega_0 t + j(F_n-F _ {-n})\ sin n \ omega_0 t)… …(2)$

比较方程式1和2。

$ a_0 = F_0 $

$ a_n = F_n + F _ {-n} $

$ b_n = j(F_n-F _ {-n})$

同样，

$ F_n = \ frac12(a_n-jb_n)$

$ F _ {-n} = \ frac12(a_n + jb_n)$