法国数学家兼物理学家让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier) ；出生于法国欧塞尔。他初始化了傅立叶级数，傅立叶变换及其在热传递和振动问题上的应用。傅里叶级数，傅里叶变换和傅里叶定律以他的名字命名。

傅立叶级数

为了表示任何周期性信号x(t)，傅立叶提出了一种称为傅立叶级数的表达式。这是由无限的正弦，余弦或指数表示的。傅里叶级数使用正交条件。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

如果满足条件x(t)= x(t + T)或x(n)= x(n + N)，则称该信号为周期性信号。

其中T =基本时间段，

_ω0 =基本频率=2π/ T

有两种基本的周期性信号：

$ x(t)= \ cos \ omega_0t $(正弦)＆

$ x(t)= e ^ {j \ omega_0 t} $(复指数)

这两个信号是周期性的，周期为$ T = 2 \ pi / \ omega_0 $。

一组谐波相关的复指数可以表示为{$ \ phi_k(t)$}

$$ {\ phi_k(t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk({2 \ pi \ over T})t} \} \ text {where} \，k = 0 \ pm 1，\ pm 2 ..n \，\，\，…(1)$$

所有这些信号都是周期性的，周期为T

根据具有n的函数x(t)的正交信号空间逼近，相互正交的函数为

$$ x(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} …..(2)$$

$$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

其中$ a_k $ =傅立叶系数=近似系数。

该信号x(t)也是周期性的，周期为T。

等式2表示周期信号x(t)的傅立叶级数表示。

项k = 0是常数。

术语$ K = \ PM1 $具有基本频率$ \ omega_0 $，称为1^次谐波。

术语$ K = \ PM2 $具有基本频率$ 2 \ omega_0 $，被称为2^次谐波，等等…

具有基频$ n \ omega0 $的项$ k =±n $被称为n^次谐波。

推导傅立叶系数

我们知道$ x(t)= \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ……(1)$

在两边分别乘以$ e ^ {-jn \ omega_0 t} $。然后

$$ x(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}。 e ^ {-jn \ omega_0 t} $$

考虑双方的积分。

$$ \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}。 e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \，\ = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j(kn)\ omega_0 t} 。 dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。 \，\，…..(2)$$

根据欧拉的公式，

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。 = \ int_ {0} ^ {T} \ cos(kn)\ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin(kn)\ omega_0t \，dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。 = \ left \ {\ begin {array} {ll} T＆\ quad k = n \\ 0＆\ quad k \ neq n \ end {array} \ right。 $$

因此，在等式2中，除了k = n以外，所有k值的积分均为零。将k = n代入方程式2。

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

用k替换n。

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \因此x(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j(kn)\ omega_0 t} $$

$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$