傅里叶级数的主要缺点是，它仅适用于周期性信号。有一些自然产生的信号，例如非周期性或非周期性的信号，我们无法使用傅里叶级数来表示。为了克服这一缺点，傅立叶开发了一种数学模型，将信号在时域(或空间域)之间转换为频域，反之亦然，这称为“傅立叶变换”。

傅立叶变换在物理和工程中有许多应用，例如LTI系统分析，RADAR，天文学，信号处理等。

从傅立叶级数导出傅立叶变换

考虑周期为T的周期信号f(t)。f(t)的复傅里叶级数表示为

$$ f(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} … …(1 )$$

令$ {1 \ over T_0} = \ Delta f $，则等式1变为

$ f(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} … …(2)$

但是你知道

$ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $

代入方程式2。

(2) $ \ Rightarrow f(t)= \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \，e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

设$ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f(t)e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ ，e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}。\ Delta f $

在$ T \ to \ infty的极限中，\ Delta f $接近微分$ df，k \ Delta f $成为连续变量$ f $，求和变为积分

$$ f(t)= lim_ {T \ to \ infty}⁡\ left \ {\ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f (t)e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \，e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}。\ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，f(t)e ^ {-j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Where} \，F [\ omega] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，f(t)e ^ {-j2 \ pi ft} dt] $

基本函数的傅立叶变换

让我们看一下基本功能的傅立叶变换：

FT的门功能

$$ F [\ omega] = AT Sa({\ omega T \ over 2})$$

脉冲功能的FT

$ FT [\ omega(t)] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ delta(t)e ^ {-j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {-j \ omega t} \，| \，t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ there \ delta(\ omega)= 1 $

单位步长功能的FT：

$ U(\ omega)= \ pi \ delta(\ omega)+ 1 / j \ omega $

指数FT

$ e ^ {-at} u(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 /(a +jω)$

$ e ^ {-at} u(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 /(a + j \ omega)$

$ e ^ {-a \，| \，t \，|} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 +ω^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta(\ omega-\ omega_0)$

FT信号函数

$ sgn(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

傅立叶变换的存在条件

仅当函数满足Dirichlet条件时，才可以使用傅里叶变换来表示任何函数f(t)。即

• 函数f(t)具有最大值和最小值的有限数量。

• 在给定的时间间隔内，信号f(t)中必须存在有限数量的不连续性。

• 在给定的时间间隔内，它必须是绝对可积的，即

  $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，| \，f(t)| \，dt <\ infty $

离散时间傅立叶变换(DTFT)

离散时间序列x [n]的离散时间傅立叶变换(DTFT)或傅立叶变换以复指数序列$ e ^ {j \ omega n} $表示序列。

DTFT序列x [n]由下式给出

$$ X(\ omega)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)e ^ {-j \ omega n} \，\，… \，…(1) $$

在此，X(ω)是实频率变量ω的复函数，可以写成

$$ X(\ omega)= X_ {re}(\ omega)+ jX_ {img}(\ omega)$$

其中X _re (ω)，X _img (ω)分别是X(ω)的实部和虚部。

$$ X_ {re}(\ omega)= | \，X(\ omega)| \ cos \ theta(\ omega)$$

$$ X_ {img}(\ omega)= | \，X(\ omega)| \ sin \ theta(\ omega)$$

$$ | X(\ omega)| ^ 2 = | \，X_ {re}(\ omega)| ^ 2 + | \，X_ {im}(\ omega)| ^ 2 $$

X(ω)也可以表示为$ X(\ omega)= | \，X(\ omega)| e ^ {j \ theta(ω)} $

其中$ \ theta(\ omega)= arg {X(\ omega)} $

$ | \，X(\ omega)|，\ theta(\ omega)$称为X(ω)的幅值和相位谱。

离散时间傅立叶逆变换

$$ x(n)= {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} X(\ omega)e ^ {j \ omega n} d \ omega \，\，… \，…(2)$$

收敛条件：

等式1中的无穷级数可以收敛或可以不收敛。 x(n)是绝对可加的。

$$ \ text {when} \，\，\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} | \，x(n)| \，<\ infty $$

绝对可加序列始终具有有限的能量，但是有限能量序列不一定是绝对可加的。