算法 | 图最小生成树 | 问题3

简介

在图论中，最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一个连通加权无向图的生成树，它的所有边权重之和最小。图最小生成树问题是计算一个图的最小生成树的问题。本文将介绍图最小生成树问题，并介绍常见的解决算法。

问题3：寻找图中的最小生成树

给定一个连通加权无向图，我们希望找到一个最小生成树，即图中所有边的权重之和最小的生成树。该问题可以用于网络设计、电力传输、通信等领域。

算法解决方案

Kruskal算法

Kruskal算法是一种常用的求解图最小生成树问题的算法。它基于贪心策略，按照边的权重依次选择最小的边，同时保证边的选择不会形成环。算法的基本思路如下：

1. 初始化一个空集合MST，用于存储最小生成树的边。
2. 将图中的所有边按照权重从小到大排序。
3. 依次遍历排序后的边，对每条边的两个顶点查找它们所在的连通分量。
4. 如果两个顶点所在的连通分量不相同，则将该边添加到MST中，并将两个连通分量合并为一个。
5. 重复步骤3和步骤4，直到MST包含图的所有顶点。

Kruskal算法具有较好的时间复杂度，可以在O(E log E)的时间内求解图最小生成树问题。

class Kruskal:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.parent = [i for i in range(num_vertices)]
    
    def find(self, vertex):
        if self.parent[vertex] != vertex:
            self.parent[vertex] = self.find(self.parent[vertex])
        return self.parent[vertex]
    
    def union(self, vertex1, vertex2):
        root1 = self.find(vertex1)
        root2 = self.find(vertex2)
        self.parent[root2] = root1
    
    def kruskal(self, graph):
        mst = []
        graph = sorted(graph, key=lambda x: x[2])  # 按照边的权重进行排序
        for edge in graph:
            vertex1, vertex2, weight = edge
            if self.find(vertex1) != self.find(vertex2):
                self.union(vertex1, vertex2)
                mst.append(edge)
        return mst

Prim算法

Prim算法也是一种常用的求解图最小生成树问题的算法。与Kruskal算法不同，Prim算法以一个顶点为起始点，逐步扩展最小生成树，直到包含所有顶点。算法的基本思路如下：

1. 选择一个起始顶点。
2. 将起始顶点加入已选集合，并初始化一个权重数组，用于记录每个顶点到已选集合的最短边的权重。
3. 重复以下步骤，直到所有顶点都加入已选集合：
   • 在权重数组中选择权重最小的顶点，将该顶点加入已选集合，并更新权重数组。
   • 更新未加入已选集合的顶点的最短边的权重。
4. 最后得到的已选集合即为最小生成树。

Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数目。

class Prim:
    def __init__(self, num_vertices):
        self.num_vertices = num_vertices
        self.key = [float('inf')] * num_vertices
        self.parent = [None] * num_vertices
        self.mst_set = [False] * num_vertices
    
    def min_key(self, key):
        min_value = float('inf')
        min_index = -1
        for i in range(self.num_vertices):
            if not self.mst_set[i] and key[i] < min_value:
                min_value = key[i]
                min_index = i
        return min_index
    
    def prim(self, graph, start_vertex):
        self.key[start_vertex] = 0
        self.parent[start_vertex] = -1
        for _ in range(self.num_vertices):
            u = self.min_key(self.key)
            self.mst_set[u] = True
            for v in range(self.num_vertices):
                if (
                    not self.mst_set[v] 
                    and graph[u][v] != 0 
                    and graph[u][v] < self.key[v]
                ):
                    self.key[v] = graph[u][v]
                    self.parent[v] = u
        mst = []
        for i in range(1, self.num_vertices):
            mst.append((self.parent[i], i, graph[i][self.parent[i]]))
        return mst

结论

图最小生成树问题是求解一个连通加权无向图的最小生成树的问题。Kruskal算法和Prim算法是两种常用的解决方案。Kruskal算法基于贪心策略，逐渐选择权重最小的边，并保证不形成环；Prim算法选择一个起始顶点，逐步扩展最小生成树。具体选择哪种算法取决于图的特点和需求。

以上是对图最小生成树问题的介绍和两种算法的解决方案的说明。希望对程序员们在处理图最小生成树问题时有所帮助。

参考文献：

• Kruskal's algorithm
• Prim's algorithm