最小生成树的反向删除算法

在图论中，最小生成树是指在一个加权连通图中，权值最小的生成树。最小生成树有多种算法来求解，其中一种就是反向删除算法。

算法思想

反向删除算法是基于最小生成树的动态维护问题，它只考虑边而不关心顶点。这个算法首先使用 Kruskal 算法或 Prim 算法确定包含规模 n-1 条边的最小生成树 T。 然后将 T 中每条边逐一从 T 中删除，如果导致 T 不再处于连通状态，则将边重新插入到 T 中。这样直到 T 中的所有边都被尝试删除。最终得到的就是原图的最小生成树。

算法步骤

1. 使用 Kruskal 算法或 Prim 算法求出原图的最小生成树 T。
2. 对 T 中的每条边进行反序遍历，即从权值最大的边开始遍历。
3. 对于每条边，依次将其从 T 中删除，再检查删除之后的 T 是否仍然处于连通状态。如果 T 不再连通，则将该边重新插入 T。
4. 重复步骤 3，直到所有边都被尝试删除。
5. 得到原图的最小生成树。

代码实现

Kruskal 算法

from UnionFind import UnionFind

def kruskal(graph):
    edges = []
    for u in graph:
        for v, w in graph[u].items():
            edges.append((w, u, v))
    edges.sort()
    uf = UnionFind()
    for u in graph:
        uf.make_set(u)
    mst = set()
    for w, u, v in edges:
        if not uf.connected(u, v):
            uf.union(u, v)
            mst.add((u, v, w))
    return mst

反向删除算法

def reverse_delete(graph):
    mst = kruskal(graph)
    for w, u, v in sorted(mst, reverse=True):
        mst.remove((u, v, w))
        if not is_connected(mst, graph):
            mst.add((u, v, w))
    return mst

def is_connected(edges, graph):
    uf = UnionFind()
    for u in graph:
        uf.make_set(u)
    for u, v, w in edges:
        uf.union(u, v)
    return uf.count() == 1

总结

反向删除算法是一种动态的算法，它可以解决在一个加权连通图中最小生成树的动态维护问题。这个算法使用 Kruskal 算法或 Prim 算法确定初始的最小生成树，然后将每条边逐一从最小生成树中删除并检查是否仍然连通，直到所有边都被尝试删除，得到原图的最小生成树。