算法 | 图最小生成树 | 问题1

简介

在图论中，最小生成树问题是指在一个加权连通图中找到一个生成树，使得树上所有边的权值之和最小。最小生成树问题是图论中的一个经典问题，在很多实际应用中得到了广泛的应用，比如网络设计、电路设计、交通规划等等。

算法

目前最常用的算法是 Prim 算法和 Kruskal 算法。

Prim 算法

Prim 算法是一种贪心算法，用于求带权连通图的最小生成树。该算法的基本思想是从某个顶点开始，每次添加一条边到生成树中使得生成树上的边权和最小，直到生成树中包含所有顶点。具体方法是利用一个优先队列来存储当前与生成树相邻的所有顶点，每次选择其中边权最小的那个顶点，并将其加入到生成树中，然后再将与新加入的顶点相邻的所有未加入生成树的顶点及其相邻边加入到优先队列中。该算法的时间复杂度为 O(E log V)。

Kruskal 算法

Kruskal 算法也是一种贪心算法，用于求带权连通图的最小生成树。该算法的基本思想是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入生成树中，直到加入的边数达到 V-1，其中 V 是图的顶点数。在加入每条边时，需要判断是否会形成环，如果会形成环，则不将该边加入生成树。该算法的时间复杂度为 O(E log E)。

代码示例

Prim 算法实现（Python）

import heapq
from collections import defaultdict

def prim(graph, start):
    mst = []
    visited = set([start])
    edges = []
    for neighbor, weight in graph[start].items():
        heapq.heappush(edges, (weight, start, neighbor))
    while edges:
        weight, src, dst = heapq.heappop(edges)
        if dst not in visited:
            visited.add(dst)
            mst.append((src, dst, weight))
            for neighbor, weight in graph[dst].items():
                if neighbor not in visited:
                    heapq.heappush(edges, (weight, dst, neighbor))
    return mst

Kruskal 算法实现（Python）

from collections import defaultdict

def kruskal(graph):
    mst = []
    parents = {}
    sizes = {}

    def find(node):
        while node != parents[node]:
            parents[node] = parents[parents[node]]
            node = parents[node]
        return node

    def union(node1, node2):
        root1 = find(node1)
        root2 = find(node2)
        if root1 != root2:
            if sizes[root1] < sizes[root2]:
                root1, root2 = root2, root1
            parents[root2] = root1
            sizes[root1] += sizes[root2]

    edges = []
    for node in graph:
        parents[node] = node
        sizes[node] = 1
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            edges.append((weight, node, neighbor))
    edges.sort()
    for weight, src, dst in edges:
        if find(src) != find(dst):
            union(src, dst)
            mst.append((src, dst, weight))
    return mst

总结

最小生成树问题是一类经典的图论问题，在实际应用中得到了广泛的应用。目前最常用的求解算法是 Prim 算法和 Kruskal 算法，它们都是贪心算法，时间复杂度分别为 O(E log V) 和 O(E log E)。程序员可以根据具体场景选择合适的算法进行求解。