算法|图最小生成树|问题5

简介

本文主要介绍图的最小生成树算法中的问题5。问题5指的是当我们希望在一个带权无向图中找到一些点，使得这些点与图中的所有其它点的距离之和最小，该如何解决。经典的解决方案是使用 Prim 算法或者 Kruskal 算法来求解。

Prim 算法

Prim 算法是一种经典的最小生成树算法，该算法可以解决问题5。Prim 算法是按点来做的，它的基本思想是：从某个点开始，每次添加一个离这个点最近的点，并将这个点和它相邻的点放入优先队列中，优先队列中的点按照与当前点的距离排序，优先选取距离最小的点。

下面是 Prim 算法的伪代码实现：

1. 选取一个起始点
2. 放入优先队列，优先队列中的元素为 (距起始点最近的距离, 当前的节点)
3. 创建一个 visited 集合，用于存储已经访问过的节点
4. while 优先队列不为空：
5.     取出队头元素 (dis, cur_node)
6.     if cur_node 已经访问过：
7.         continue
8.     visited.add(cur_node)
9.     for edge in cur_node 的出边：
10.        if edge 的终点不在 visited 中：
11.            将 (edge 的权值, edge 的终点) 放入优先队列

该算法的时间复杂度是 O(ElogV)。

Kruskal 算法

Kruskal 算法也是一种经典的最小生成树算法，同样可以解决问题5。Kruskal 算法是按边来做的，它的基本思想是：按照边的权值排序，依次取出边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通块中，那么就将这两个连通块合并。最终形成的就是图的最小生成树。

下面是 Kruskal 算法的伪代码实现：

1. 将图中所有边按权值排序
2. 创建一个并查集，存储每个节点所在的连通块
3. for edge in 所有边：
4.     if 连接 edge 的两个节点不在同一个连通块中：
5.         合并这两个连通块

该算法的时间复杂度是 O(ElogE)。

总结

本文主要介绍了图的最小生成树算法中的问题5，包括 Prim 算法和 Kruskal 算法的实现方法。在实际应用中，我们需要根据具体的场景来选择合适的算法。如果希望从一个点出发构造最小生成树，那么 Prim 算法是更好的选择；如果我们只是希望找到最小生成树，那么 Kruskal 算法是更好的选择。