算法 | 图最小生成树 | 问题7

什么是最小生成树？

最小生成树，英文缩写为MST，是一种在无向图中生成一棵覆盖所有节点的树，使得树的权重之和最小的算法。MST的应用领域非常广泛，如通信网络规划、城市规划、电力网络设计等。

Kruskal算法求解最小生成树

Kruskal算法是一种贪心算法，用于解决最小生成树问题。Kruskal算法的基本思想是将图中的所有边按照权值从小到大排序，依次加入到生成树中，直至生成一棵包含所有节点的树。在加入边的过程中，需要用并查集维护连通性。

以下是Kruskal算法的伪代码：

function kruskal(G):
    // 初始化并查集
    for v in G.nodes:
        makeSet(v)
    // 初始化生成树
    T = []
    // 将所有边按权值从小到大排序
    edges = sort(G.edges)
    for e in edges:
        u, v = e.u, e.v
        if findSet(u) != findSet(v):
            T.append(e)
            union(u, v)
    return T

Prim算法求解最小生成树

Prim算法也是一种常用的求解最小生成树的算法，同样是一种贪心算法。Prim算法的基本思想是从一个节点开始，不断扩展生成树的边集合，直到扩展到所有节点。在扩展的过程中，需要选择距离当前生成树最近的节点，并将该节点加入到生成树中。

以下是Prim算法的伪代码：

function prim(G, s):
    // 初始化距离
    for v in G.nodes:
        v.d = infinity
    s.d = 0
    // 初始化生成树
    T = []
    // 初始化堆
    Q = PriorityQueue()
    Q.push(s)
    while not Q.isEmpty():
        u = Q.pop()
        for v in u.adjNodes:
            if v in Q and u.weight(v) < v.d:
                v.parent = u
                v.d = u.weight(v)
                Q.decreaseKey(v)
        T.append(u.parentEdge)
    return T

总结

最小生成树问题是图论中的一个经典问题，有多种求解算法，其中Kruskal算法和Prim算法是最为常用的两种算法。在应用中需要根据实际情况选择合适的算法，以达到较好的效果。