算法|图最短路径|问题2

简介

在图论中，最短路径问题是指在加权图中找到两点之间经过的边权重和最小的路径。问题2指的是有向图中的第二短路径问题，即找到一个次短的路径。

解决问题2的算法有很多种，下面将介绍两种主要的算法：Dijkstra算法和Floyd算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。它的原理是从起点开始，每次选择当前距离起点最近的一个节点，然后以该节点为基础更新与该节点相邻的节点的距离。

算法流程

1. 初始化距离，标记起点。
2. 从起点开始，每次选择距离最近的节点，更新与其相邻节点的距离。
3. 重复2直到所有节点都被处理。
4. 得到终点的距离即为第二短路径。

代码示例

//定义邻接表存储图的结构
struct edge {
    int to, cost;
};
typedef pair<int, int> P;  //优先队列中的元素
vector<edge> G[MAX_V];  //图
int d[MAX_V][2];  //最短距离和次短距离
int V;  //顶点数

void dijkstra(int s) {  //求解s到所有点的最短距离
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > que;
    memset(d, INF, sizeof(d));
    d[s][0] = 0;
    que.push(P(0, s));

    while (!que.empty()) {
        P p = que.top(); que.pop();

        int v = p.second;
        int d1 = p.first;  //最短距离
        int d2 = INF;      //次短距离

        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge e = G[v][i];
            int nd = d1 + e.cost;
            if (d[e.to][0] > nd) {  //更新最短距离
                swap(d[e.to][0], nd);
                que.push(P(d[e.to][0], e.to));
            }
            if (d[e.to][1] > nd && d[e.to][0] < nd) {  //更新次短距离
                d[e.to][1] = nd;
                que.push(P(d[e.to][1], e.to));
            }
        }
    }
}

Floyd算法

Floyd算法是一种动态规划算法，用于解决任意两点之间的最短路径问题。它的原理是利用顶点的中间点更新最短路径。

算法流程

1. 初始化距离矩阵为图的距离矩阵。
2. 依次枚举中间点，更新距离矩阵。
3. 得到终点的距离即为第二短路径。

代码示例

void floyd() {
    for (int k = 0; k < V; k++) {
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            for (int j = 0; j < V; j++) {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);  //更新距离矩阵
            }
        }
    }
}

总结

Dijkstra算法和Floyd算法在解决问题2上都有很好的表现，具体使用哪种算法需要根据具体问题的情况来决定。在稠密图中使用Dijkstra算法较为合适，而在稀疏图中使用Floyd算法较为合适。