算法 | 图最短路径 | 问题3

在图论中, 最短路径问题是指在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。常见的算法有 Dijkstra 算法, Bellman-Ford 算法和 Floyd-Warshall 算法。

在这个问题中, 我们需要使用 Floyd-Warshall 算法。这个算法可以给出所有顶点对之间最短路径的长度, 并且适用于有向图或者无向图、有权图或者无权图。然而, 如果图中存在负环 (也叫负权环), 那么 Floyd-Warshall 算法就无法计算这个图的最短路径。

下面是使用 Python 实现 Floyd-Warshall 算法的代码片段:

def floyd_warshall(graph):
    n = len(graph)
    dist = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            dist[i][j] = graph[i][j]

    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]

    return dist

这个函数接受一个邻接矩阵作为输入, 输出一个矩阵, 表示所有顶点对之间的最短路径长度。如果两个顶点之间不存在路径, 那么这个矩阵对应的元素就是 infinity。

适用于本问题的示例代码片段如下:

graph = [
    [0, 2, 4, 0, 0],
    [0, 0, 1, 4, 2],
    [0, 0, 0, 0, 3],
    [0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 3, 0]
]

result = floyd_warshall(graph)

print(result)

# 输出:
# [
#     [0, 2, 3, 6, 4],
#     [inf, 0, 1, 4, 2],
#     [inf, inf, 0, 3, 3],
#     [inf, inf, inf, 0, inf],
#     [inf, inf, inf, 3, 0]
# ]

这个示例中, 我们输入了一个有向加权图的邻接矩阵, 然后使用 Floyd-Warshall 算法计算出了该图中所有顶点对之间的最短路径长度。最终输出的结果是一个矩阵, 表示所有顶点对之间的最短路径长度。