算法|图最短路径|问题14

问题描述

给定一个有向图和起点，找到从起点到每个节点的最短路径长度。

解决方案

这个问题可以使用Dijkstra算法解决。

Dijkstra算法使用了一种贪心策略，每次选择距离起点最近的未访问节点，并更新距离数组。具体实现包括以下步骤：

1. 初始化距离数组，将起点到起点的距离设为0，将起点到其他节点的距离设为无穷大。

2. 初始化一个集合S，表示已访问节点，将起点加入集合S。

3. 对于起点相邻的节点，更新距离数组。

4. 从未访问节点中选择距离最小的节点，将其加入集合S，并更新距离数组。

5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被访问。

最终的距离数组即为起点到每个节点的最短路径长度。

以下是Python实现Dijkstra算法的代码：

import heapq


def dijkstra(graph, start):
    """
    :param graph: 二维数组，表示有向图，graph[u][v]表示有一条从u指向v的边，如果没有就是None
    :param start: 起点
    :return: 起点到每个节点的最短路径长度数组
    """
    n = len(graph)
    dist = [float('inf')] * n
    dist[start] = 0
    heap = [(0, start)]

    while heap:
        d, u = heapq.heappop(heap)
        if d > dist[u]:
            continue
        for v in range(n):
            if graph[u][v] is None:
                continue
            d2 = d + graph[u][v]
            if d2 < dist[v]:
                dist[v] = d2
                heapq.heappush(heap, (d2, v))

    return dist

以上代码使用堆来实现步骤4的选择操作，因为堆可以快速选择最小值。

总结

Dijkstra算法可以在有向图中找到最短路径，其实现使用贪心策略和堆优化，时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数。

在实际应用中，Dijkstra算法可以用于求解网络路由、地图导航等问题。